«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности» icon

«Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности»


4 чел. помогло.
Смотрите также:
Методические подходы введения в содержание математического образования основной школы элементов...
Элементы комбинаторики. Перестановки. Размещения. Сочетания...
А. И. Кравченко Обществознание. 8 кл. М.: Русское слово, 2008...
Рабочая программа по алгебре и началам анализа (11класс)...
Рекомендации по введению элементов статистики...
Приказ № от 2010г./ Зам директора по мр от 2010г./ Руководитель шмо родионова И. А...
Учебнику А. Н. Колмогорова и др. «Алгебра и начала анализа», 11 класс (базовый уровень)...
Учебнику С. М. Никольского и др. «Алгебра и начала анализа», 10 класс (базовый уровень)...
Программа к учебнику А. Н. Колмогорова и др. «Алгебра и начала анализа»...
Один из важнейших аспектов модернизации содержания математического образования состоит во...
Урок №1 тема: история развития теории вероятностей. Предмет теории вероятностей...
Тематическое планирование составлено на основе федерального компонента государственного...



Загрузка...
скачать
Банк заданий для учащихся 9-х классов по теме «Элементы комбинаторики, статистики и теории вероятности»


Задания для части 1







Содержание задания

Решение




1

У Портоса есть сапоги со шпорами и без шпор, 4 разные шляпы и 3 разных плаща. Сколько у него вариантов одеться по-разному?

Обозначу множество сапог через A, множество шляп через B и множество плащей через C. По условию n(A) = 2, n(B) = 4, n(C) = 3. Каждый вариант комплекта одежды определяется набором из трёх предметов (a,b,c), где a, b, c натуральные числа. По правилу произведения N = n(A)* n(B)*n(C) = 2*4*3 = 24.

У Портоса 24 варианта одеться по-разному.

Ответ: 24




2

Сколько можно составить трёхзначных чисел из цифр 0, 2, 4, 6?

Рассмотрю размещения из 4-х цифр по 3 взятых в определённом порядке. Так как Akn = n*(n-1)*…*(n-k), то A34 = 4*3*2*1 = 24.

24/4 = 6, т.е по 6 раз каждая из 4-х цифр будет стоять на первом месте. Чтобы число было трёхзначным, первая цифра не может быть равной 0, уберу эти числа: 24 – 6 = 18. Остаётся 18 чисел, которые будут трёхзначными.

Ответ: 18




3

В конференции участвовало 30 человек. Каждый с каждым обменялся визитной карточкой. Сколько всего понадобилось карточек?

Так как каждый из 30 человек должен был обменяться карточкой с каждым из участников конференции, то получается, что каждый получил по 29 карточек, т.е. всего карточек 30 * 29 = 870

Ответ: 870




4

В классе 25 человек. Сколькими способами можно двух из делегировать на школьную конференцию?

Рассмотрю сочетания из 25 элементов по 2. Использую формулу Ckn = n! / (k! * (n – k)!)

C225 = 25! / (2! * 23!) = (24 * 25) / 2 = 300, т.е. 300 способов можно использовать, чтобы делегировать 2 ученика из 25 на школьную конференцию.

Ответ: 300




5

В расписании уроков на вторник для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день?

Для того, чтобы составить различные варианты расписания пяти уроков из указанных предметов рассматриваю перестановку пяти предметов. Так как Pn = n! , то P5 =5! = 1*2*3*4*5 = 120.

120-ю способами можно составить расписание на этот день.

Ответ: 120




6

Спортсмен сделал 40 выстрелов и попал по мишени 32 раза. Определите относительную частоту попадания спортсмена по мишени.

Частотой события A называется отношение числа тех опытов, в которых наступило событие A к общему числу проведённых опытов, поэтому частота попадания спортсмена по мишени равна: 32 / 40 = 0.8 Ответ: 0.8




7

В таблице приведены данные о продаже фирмой автомобилей за прошлый год.

марки

A

B

C

D

E

Продано

штук

130

800

420

100

300

Автомобили марок A, B,C – отечественные, D и E – иностранные. Оцените вероятность того, что произвольный покупатель выберет автомобиль иностранной марки (выразите вероятность в процентах).

По статистическому определению вероятности события, вероятность случайного события A приближённо равна частоте в длинной серии опытов. Т.е. P(A) = m / n , где m – количество опытов, благоприятствующих событию A. а n – общее количество опытов.

Пусть событие A: « Купленный автомобиль иностранной марки»

По условию задачи m = 100 +300 = 400, n = 130 +800 + 420 + 100 + 300 = 1750 тогда P (A) = 400 / 1750 = 0.22857…, P(A) ≈ 23%

Ответ: 23%




8

Демографы утверждают, что вероятность рождения близнецов приблизительно равна 0.012. В скольких случаях из 50 000 рождений можно ожидать рождения близнецов?

Пусть событие A:- «Родились близнецы», тогда P(A) = 0,012.

Предполагаю, что из 50 000 рождений x близнецы.

Составлю равенство: x / 50 000 = 0, 012 , откуда x = 0,012 * 50 000 = 600.

Ответ: 600




9

По статистике на каждые 1000 лампочек приходится 2 бракованные. Какова вероятность купить исправную лампочку?

Если на 1000 лампочек приходится 2 испорченных, то исправных тогда будет 1000 – 2 = 998.

998 / 1000 = 0, 998 . Итак, вероятность купить исправную лампочку равна 0,998 или 99,8%

Ответ: 0,998




10

Имеется 80 лотерейных билетов, из которых 20 билетов - выигрышные. Какова вероятность проигрыша?

Если из 80 билетов 20 являются выигрышными, то тогда 60 билетов будут проигрышными.

60 / 80 = 0,75. Следовательно, вероятность проигрыша равна 0,75 или 75%.

Ответ: 0,75




11

Из слова СОБЫТИЕ случайным образом выбирается одна буква. Какова вероятность того, что она окажется гласной?

Данное слово состоит из семи букв, четыре из которых гласные. Поэтому вероятность того, что выбранная наугад буква является гласной буквой равна: 4 / 7 ≈ 0, 57 или 57%

Ответ: 0,57




12

В классе учатся 10 мальчиков и 20 девочек. На класс дали один билет в цирк, который решено разыграть по жребию. Какова вероятность, что в цирк пойдёт девочка?

Всего учащихся в классе 30. Событию, что в цирк пойдёт девочка благоприятствует 20 из 30 человек, поэтому вероятность этого события равна 20 / 30 ≈ 0,6666… или 66,7%

Ответ: 0, 67




13

Буквы слова СОБЫТИЕ перемешивают и случайным образом выкладывают в ряд. Какова вероятность того, что снова получится это же слово?

Учитывая, что все буквы в данном слове являются различными и всего их семь, то путём перестановки этих букв, получится 7! различных вариантов слов. 7! = 1*2*3*4*5*6*7 = 5040

Вероятность того, что получится слово СОБЫТИЕ равно: 1 / (7!) = 1 / 5040 ≈ 0,0002 или 0,02%.

Ответ: 0,0002





14

В таблице приведены расходы семьи на питание в течении недели.

Пн

Вт

Ср

Чт

Пт

Сб

Вс

210

200

190

220

190

245

250

а) Каков средний расход в день (среднее арифметическое) на питание?

б)Чему равен размах ряда данных?

а). Чтобы найти средний расход в день, надо всю сумму расхода за неделю разделить на количество дней недели.

(210 + 200 + 190 + 220 + 190 + 245 +250) / 7 = 215

б). Разность между наибольшим и наименьшим значением величин называется размахом данного ряда.

Наибольший расход (в воскресение) равен 250

Наименьший расход (в среду и пятницу) равен 190, следовательно, размах равен 250 – 190 = 60.

Ответ: а) 215 ; б) 60.

15

Десять детей из младшей группы спортивной школы по плаванию участвовали в соревнованиях в 50-метровом бассейне. В их списке, составленном по алфавиту, записаны следующие результаты:

54с, 31с, 29с, 28с, 56с,30с, 43с, 33с, 38с, 36с. Найдите медиану ряда и размах.

Всего величин десять. Следовательно, медиана равна среднему арифметическому 5-го и 6-го членов соответствующего упорядоченного ряда, т.е. среднему арифметическому чисел 56 и 30:

(56+30) / 2 = 43.

Так как наибольшее число упорядоченного ряда равно 56, а наименьшее 28, то размах данного упорядоченного ряда равен 56 – 28 = 28.

Ответ: медиана – 43;

Размах – 28.

16

В течении четверти Таня получила следующие отметки по физике: одну «2», четыре «3», шесть «4» и три «5». Найдите среднее арифметическое и моду этого ряда.

Ср. арифметическое = (1 * 2 + 4 * 3 + 6 * 4 + 3 * 5) / (1 + 4 + 6 + 3) = 53/14 ≈ 3,8

Мода ряда отметок Тани равна 4, так как в этом ряду отметок больше четвёрок.

Ответ: 3,8 ; 4.

17

В расписании уроков на среду для 7 класса должно быть пять уроков: алгебра, русский язык, литература, география, физкультура. Сколькими способами можно составить расписание на этот день, если русский язык и литература должны стоять рядом?

Рассмотрю перестановки из четырёх элементов (предметы русский язык и литературу будем считать как один элемент). Pn = n! Т.е Р4 = 4! = 24. Так как русский язык и литература могу меняться местами, то общее число перестановок будет равно 24 * 2 = 48. Следовательно, расписание для семиклассников на среду можно составить 48 способами.

Ответ: 48


18

Монету подбрасывают 10 раз подряд и каждый раз записывают, что выпало – орёл или решка. Сколько разных последовательностей из орлов и решек может при этом получиться?

При десятикратном подбрасывании монеты возможны следующие исходы: - орёл 10 раз, решка 0; орёл 9раз, решка 1; орёл 8, решка 2; орёл 7, решка 3; орёл 6, решка 4; орёл 5, решка 5; орёл 4

, решка 6; орёл 3, решка 7; орёл 2, решка 8; орёл 1, решка 9; орёл 0, решка 10. Количество последовательностей из орлов и решек равен сумме всевозможных сочетаний по каждому исходу. C010= C1010 =1, C110= C910 =10, C210= C810 =45, C310= C710 =120, C410= C610 =210, C510 =252.

1 + 1 +10+10 + 45 + 45 +120 + 120 +210 + 210 +252 = 1024.

Ответ: 1024

19

Из нечётных цифр составляют всевозможные числа, содержащие не более четырёх цифр. Сколько существует таких чисел?

Нечётных цифр пять – 1, 3, 5, 7, 9.

Так как по условию цифр должно быть не более четырёх, то числа могут быть однозначные, двухзначные, трёхзначные и четырёхзначные.

Однозначных чисел - С15 =5; двухзначных чисел - составленных из различных цифр С210 = 45; трёхзначных чисел - С315 = 455; четырёхзначных чисел - С420 = 4845. Итого, таких чисел будет: 5 + 45 + 455 +4845 = 5350.

Ответ: 5350


20

Из пруда было выловлено 90 рыб, который пометили и выпустили обратно в пруд. Через неделю из пруда выловили 84 рыбы, 7 из которых оказались помеченными. Сколько примерно рыб в пруду?

Событие К – «Выловленная рыба помеченная», тогда вероятность Р(К) = 7 / 84=1/12.

По условию помеченных рыб 90. Пусть всего рыб в пруду n. Так как по классическому определению вероятности 90 / n = 1 / 12, следовательно, n = 90*12=1080.

Ответ: 1080

21

Подбрасывается два кубика. Какова вероятность, что в сумме выпадет 5 очков?

Событие А - «При подбрасывании двух кубиков в сумме выпадает 5 очков» есть объединение следующих событий, которые являются несовместными событиями: А1 – «первый кубик - 4, второй – 1»; А2 – «первый кубик - 3, второй – 2»; А3- « первый кубик - 2, второй – 3»; А4 – «первый кубик- 1, второй – 4». Следовательно вероятность события А равна сумме вероятностей событий Аi, т.е. Р(А) = Р(А1)+Р(А2)+Р(А3)+Р(А4). Вероятность наступления каждого из событий Аi равна 1/36 , как вероятность пересечения двух независимых случайных событий (исходы положительны для наступления обоих событий), а выпадение любого количества очков за одно подбрасывание равно 1/6

Р(А) = 4 * 1/36 = 1/9


Ответ: 1/9


22

Подбрасывается два кубика. Какова вероятность, что на них выпадут разные числа?

При подбрасывании двух кубиков могут быть всего 36 исхода.

Для выпадения одинаковых чисел возможно 6 исходов: - (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6), следовательно, 30 исходов удовлетворяют тому, что выпадут разные числа. Значит вероятность того, что при подбрасывании двух кубиков выпадут разные числа, равна 30 / 36 = 5/6.

Ответ: 5 / 6

23

Из Наташиного класса, в котором 25 учеников, по жребию выбирают двух дежурных. Какова вероятность, что Наташа будет дежурить?

Дежурство по два человека из 25 можно составить С225 способами (С225 = 300). Наташу можно включить в дежурство 24 –я способами. Значить вероятность, что Наташа будет дежурить, равна 24/300 = 2/25.

Ответ: 2 / 25.

24

Сколькими способами группу из 10 человек можно разбить на две группы, содержащие 2 и 8 человек?

Формируя группы по два человека из десяти, мы автоматически формируем и группы по восемь человек. Значит 10 человек можно разбить на две группы, содержащие 2 и 8 человек С210 = 45 способами.

Ответ: 45

25

Буквы слова КУБИК перемещают и случайным образом выкладывают в ряд. С какой вероятностью снова получится это же самое слово?

Во время перемещения букв совершаются перестановки. И таких перестановок будет 5! =120. Так как слово КУБИК содержит две одинаковые буквы (К), то благоприятствующих тому, чтобы получилось это же слово, будет две перестановки и тогда вероятность события «Снова получится это же слово» равна 2 / 120 = 1 / 60.

Ответ: 1 / 60

26

В урне десять шаров белого и черного цвета. Вероятность, что среди двух одновременно вынутых из неё шаров оба будут черные равна 1 /15. Сколько в урне белых шаров?

Пусть событие A: – «Оба вынутых шара будут чёрные». Если предположить, что чёрных шаров n (n – натуральное число), тогда белых шаров будет 10 – n.

Событие А1: - « Первый вынутый шар чёрный», P(А1) = n /10.

Событие А2: - « второй вынутый шар чёрный», P(А2) = (n -1) /9

Вероятность наступления события А1 и А2 одновременно равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие осуществилось, т.е.

P (A) = P (A1) *P (A2) = (n /10)* ((n-1) / 9) = (n2 –n) / 90.

Учитывая условие (n2 –n) / 90 = 1/15, n2 – n – 6 = 0 n1 = -1 n2 = 3. Т.к. n натуральное число то n=-1 не удовлетворяет условию задачи и следовательно чёрных шаров в урне 3, а белых 10 -3 = 7.

Ответ: 7

27

Фишку наугад бросают в квадрат со стороной 1, и она попадает в некоторую точку М. Какова вероятность того, что расстояние от точки М до ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25?

Все точки, удалённые от ближайшей стороны квадрата на расстояние 0,25 образуют стороны нового квадрата, расположенного внутри первого и имеющего сторону равную 1 – 2 * 0.25 = 0,5.

Вероятность того, что расстояние от точки М до ближайшей стороны квадрата не превосходит 0,25, равна (S1 – S 2) / S1 , где S1 – площадь данного квадрата, S2 – площадь квадрата, расположенного внутри данного квадрата. S1 =1, S2 = 0,25, тогда Р = (1-0,25) / 1 = 0,75.

Ответ: 0,75

28

Оконная решетка состоит из клеток со стороной 20см. Какова вероятность того, что попавший в окно мяч, радиус которого 5см, пролетит через решетку?

Площадь одной клетки оконной решётки со стороной 20см (S1) равна 400см2, а площадь (S2) части клетки, через которую может пролететь мяч радиуса 5см, попав в клетку оконной решётки, равна 100см2.

Вероятность (Р) того, что попавший в окно мяч, пролетит через решётку равна отношению S2 / S1 , т.е. Р = 100 / 400 = 0,25

Ответ: 0,25


29

На диаграмме показаны результаты выпускного экзамена по математике (оценка и процент получивших её учеников). Найдите средний балл этого экзамена, если «5» составляют 20%, «4»-50%, «3» - 30%


Средний балл экзамена равен среднему арифметическому всех оценок , полученных на экзамене.

Если выпускников было K, тогда пятёрки за экзамен получили 0,2K учеников (20%), четвёрки – 0,5K (50%), тройки – 0,3K (30%).

Среднее арифметическое = (5*0,2K+ 4*0,5K +3*0,3K) / K = 3.9

Значит, средний балл экзамена равен 3,9

Ответ: 3,9

30

В таблице приведены данные о возрастном составе участников школьного хора (в первой строке – возраст, во - второй строке – число участников):

7

8

9

10

11

12

13

14

15

3

6

5

1

2

3

2

2

1

Найдите среднее арифметическое, моду и медиану возрастов участников хора.

Среднее арифметическое = N, тогда

N = (7*3+8*6+9*5+10*1+11*2+12*3+13*2+14*2+15*1) / 25 = 251/25 = 10.04.

Больше всего детей 8-ми летнего возраста, значит Мода = 8

Так как в ряду всего 25 чисел, то медиана равна среднему арифметическому 12-го, 13-го и 14-го членов упорядоченного ряда:

7,7,7,8,8,8,8,8,8,9,9,9,9,9,10,11,11,12,12,12,13,13,14,14,15

Для того, чтобы определить в какие группы попадают эти члены, буду последовательно суммировать частоты и сравнивать суммы с числами 12, 13, 14.

3+6=9, 3+6+5=14, т.е. 12-й, 13-й, 14-й члены попадают в ту группу, которую составляют девятилетние дети. Значит медиана ряда равна (9+9)/2 = 9.

Ответ: 10,04; 8; 9.



Рассмотрено на заседании ММО учителей математики

Старооскольского городского округа Протокол от 15.12.2009.№2




Скачать 131,55 Kb.
оставить комментарий
Дата20.09.2011
Размер131,55 Kb.
ТипРешение, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

хорошо
  1
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх