5. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса icon

5. Исследование систем линейных уравнений. Метод Гаусса


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Название читаемого курса...
Название читаемого курса...
Методические указания к выполнению лабораторной работе «решение систем линейных алгебраических...
Математика
Курсовая работа на тему: «Решение систем линейных уравнений. Метод Гаусса...
«Численные методы»...
Фамилия, имя участника...
Календарно-тематический план учебная дисциплина: «Математика»...
Учебная программа Дисциплины б9 «Дифференциальные уравнения» по направлению 011800 «Радиофизика»...
Программа дисциплины ен. Ф. 01 «Математика. Численные методы» Специальность 032100 050201...
Лабораторная работа Метод верхних релаксаций решения систем...
Решение систем линейных уравнений...



Загрузка...
страницы: 1   2   3   4
вернуться в начало
скачать

26.Векторное произведение векторов. Свойства.

^ Векторным произведением векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим условиям:1) , где  - угол между векторами и , 2) вектор ортогонален векторам и

3) , и образуют правую тройку векторов.Обозначается: или.









Свойства векторного произведения векторов:1) ;2) , если  или = 0 или = 0;3) (m)= (m) = m();4) (+ ) = + ;5) Если заданы векторы (xa, ya, za) и (xb, yb, zb) в декартовой прямоугольной системе координат с единичными векторами , то=6) Геометрическим смыслом векторного произведения векторов является площадь параллелограмма, построенного на векторах и .Пример. Найти векторное произведение векторов и . = (2, 5, 1); = (1, 2, -3).


^ 37. Основные теоремы о пределах

Теорема 1. , где С = const.Следующие теоремы справедливы при предположении, что функции f(x) и g(x) имеют конечные пределы при ха.

Теорема 2. Доказательство этой теоремы будет приведено ниже.

Теорема 3.

Следствие.

Теорема 4. при

Теорема 5. Если f(x)>0 вблизи точки х = а и , то А>0.Аналогично определяется знак предела при f(x) < 0, f(x)  0, f(x)  0.

Теорема 6. Если g(x) f(x) u(x) вблизи точки х = а и , то и .

Функция f(x) называется ограниченной вблизи точки х = а, если существует такое число М>0, что f(x)
Теорема 7. Если функция f(x) имеет конечный предел при ха, то она ограничена вблизи точки х = а.

Доказательство. Пусть , т.е. , тогда

или, .е.где М =  + АТеорема доказана.

^ 41. Второй замечательный предел

это форма второго замечательного предела, справедлива и для действ. аргумента

lim(n)(1+1/n)n=e


27. Смешенное произведение векторов его св-ва и вычисления.

Смешанным произведением векторов , и называется число, равное скалярному произведению вектора на вектор, равный векторному произведению векторов и .Обозначается или (, ,). Смешанное произведение по модулю равно объему параллелепипеда, построенного на векторах , и .









Свойства смешанного произведения:

1)Смешанное произведение равно нулю, если: а)хоть один из векторов равен нулю;б)два из векторов коллинеарны;в)векторы компланарны.

2)3)

4)5) Объем треугольной пирамиды, образованной векторами , и , равен6)Если , , тоПример. Доказать, что точки А(5; 7; 2), B(3; 1; -1), C(9; 4; -4), D(1; 5; 0) лежат в одной плоскости.Найдем координаты векторов: Найдем смешанное произведение полученных векторов:,Таким образом, полученные выше векторы компланарны, следовательно точки A, B, C и D лежат в одной плоскости.Пример. Найти объем пирамиды и длину высоты, опущенной на грань BCD, если вершины имеют координаты A(0; 0; 1), B(2; 3; 5), C(6; 2; 3), D(3; 7; 2).Найдем координаты векторов: Объем пирамиды

Для нахождения длины высоты пирамиды найдем сначала площадь основания CD.

Sосн = (ед2)Т.к. V = ; (ед)

22. Линейной зависимость векторов

Вектор а1,а2,…аn наз-ся линейнозависимым, если сущ. Числа 1, 2,… n не все равные нулю, для к-х справедливо равенство:

1а1+а2+…nаn=0.

Если векторы линейнозависимы, то один из них можно представить виде линейной комбинации остальных.

Справедливо и обратное утверждение.

Векторы а1,а2,…аn наз-ся линейнонезавис., если 1а1+а2+…nаn=0.

Имеет место только при условии 1=2=…=n=0.

Теорема:Всякие 3 вектора а,b и с на пл. ленейнозависимы

Следствие: если число векторов на пл. больше 3-х, то они всегда линейнозависимы

Теорема: 2 вектора на пл. линейноз. когда они неколлинеарны.

Теорема: всякие 4 вектора а,b,с и d в простр. линейнозависимы.

Следствие:

  1. если число данных веторов в простр. больше 4-х, то они линейноз.

  2. для того, чтобы 3 вектора в простр. были компланарны, необх. И дост., чтобы они были линейноз. и наоборот.

  3. для того, чтобы 3 вектора были линейно независимы необх. и дост., чтобы они были компланарны

^ 23. Базис на пл. и в простр. Аффинные координаты

Базис - совокупн. линейнонезавис. векторов

Базис на плоскости – два любые неколлинеарные вектора, взятые в определенном порядке.

^ Базис в пространстве – три любые некомпланарных вектора, взятые в определенном порядке.

Пусть произв. Вектора a,b и c на пл. образуют базис

a= 1b+2c (1) Это выражение называют разложением вектора а по базису b и c, а числа 1,2 наз-ся аффинными координатами вектора а и запис-ся: а=1,2=(1,2) и такое разложение явл-ся единтсвенным. Аналогично, любой вектор а в пространстве однозначно разлагается по векторам b,c и d. а= 1b+2c + 3d, а= (1,2,3).

^ Прямоугольный декартов Базис

Т.к. они не компланарны, то они образуют базис, к-й называется декартовым.

Если известны декартовы координаты векторов, то линейные операции над векторами можно заменить арифм. действ. над их проекциями.

Если даны координаты точек А(х1,y1,z1) и B(x2,y2,z2, то проекции вектора
АВ на оси будут равны

прox AB=x2-x1; прoy AB=y2-y1; прoz AB=z2-z1,т.е. разложение вектора АВ по Базису:

АВ=( x2-x1)i +( y2-y1)j + (z2-z1)k

AB=( x2-x1)2 +( y2-y1)2 + (z2-z1)2


24. Направляющие косинусы вектора а – косинусы углов между вектором и осями координат и равны отношению прилегающего катета к гипотенузе, т.е. отношению координат вектора к его модулю.

Пусть вектор а разложен по Базису след обр.:

а= axi+ayj+azk

ax =a*cos; ay =a*cos; az =a*cos  cos= ax /a

cos= ay /a

cos= az /a, т.к

a=ax2+ay2+az2 имеем cos= ax/ax2+ay2+az2 и т.д.


19.Полярные координаты.

Пусть на плоскости дана точка О – полюс и луч ОР – полярная ось. Тогда положение точки М на плоскости определяет полярный угол  = МОР и радиус-вектор r = ОМ. Пару (r,)-называют полярными координатами ,где r-полярный радиус точки, -полярный угол.
Таким образом на плоск. Можно задать еще одну корд. Сист.-полярную. Прямоугольную декартову сист. Будем наз-ть согласованной с данной полярной

Если полярная ось совпадает с осями координат декарт сист., то

х = r Cos , y = Sin 

и обратный переход

r = x2 + y2, tg  = y / x.


^ 32. Классификация функций. Основные элементарные функции




Основные элементарные функции:

  • постоянная у = с, с = const;

  • степенная у = хn, n  R;

  • показательная у = ах, а > 0, a ≠ 1;

  • логарифмическая у = logax, а > 0, a ≠ 1;

  • тригонометрические у = Sin(x), y = Cos(x), y = tg(x), y = ctg(x);

обратные тригонометрические y = arcSin x, y = arcCos x и др.


^ 11. Основная теорема алгебры

Всякий многочлен с любыми числовыми коэф., степень к-го не меньше единицы имеет хотя бы один корень в общем случае комплексный.

Рассмотри многочлен (х) с комплексн. коэф., как комплексн. функцию комплексного переменного.

Таким обр. х может принимать любые значения, т.е. переменная х ихменяется на комплексной плоскости.

Значение функции (х) также будут комплексными числами. Можно считать, что эти значения отличаются на второй комплексной плоскости, подобно тому, как в случае действит. Функций действ. Переменного. Значения независимого переменного отмечаются на одн. Числ. Прямой(оси абсцисс), а значение функции на др.(оси ординат).

Замечание: многочлен (х) является непрерывной функцией комлексного переменного х для любого положит. Числа ,можно найти токое положит. Число , что из усл. х-х0   (х) -(х0)    .

Лемма: если своб. Член многочлена (х) = a0xn+ a1xn-1 + a2xn-2+…+ an-1x равен нулю т.е. r(o)=0, то для всякого   0 можно подобрать такое 0,что при всех х, для к-х х  будет (х)  

Действительно, пусть число а имеет макс. значение:

А=max ( a0, a1,a2,…an-1 ). Число  нам уже дано. Покажем, что если число  взять равным выражением  = /А+, то оно будет удовлетворять требуемым усл.

В самом деле, (х)  a0хn+a1хn-1 +…+ an-1х  А(хn+хn-1+х), т.е.

(х)  А х- хn+1/1- х, т.к. х  и  =/А+, получим:

х-хn+1/1- х  х/ 1- х, т.е.

(х)  А х/1- х   А*/1-  А* (/А+)/ 1- ( /А+)=.

ЧТД

(12-14).(1) Прямоугольные координаты на плоскости

Две взаимно перпендикулярные оси Ox и Oy, имеющие общее начало O и одинаковую единицу масштаба, образуют декартову (или прямоугольную) систему координат на плоскости. Ось Ox называется осью абсцисс, ось Oy - осью ординат, точка O - началом координат. Плоскость, в которой расположены оси Ox и Oy , называется координатной плоскостью и обозначается Oxy.

Пусть M - произвольная точка плоскости. Опустим из неё перпендикуляры MA и MB на оси Ox и Oy. Прямоугольными координатами x и y точки M называются величины OA и OB направленных отрезков OA иOB : x=OA, y=OB.

Координаты x и y точки M называются соответственно её абсциссой и ординатой. Символ M(x;y) означает, что точка M имеет координаты x и y. Начало координат имеет координаты (0;0).

Таким образом, каждой точке плоскости соответствует пара чисел (x;y) - её прямоугольные координаты.

Оси координат разбивают плоскость на четыре части, их называют четвертями, квадрантами или координатными углами и нумеруют римскими цифрами I, II, III, IY.



















^ 12.(2) Расстояние м/у двумя точками плоскости

Расстояние м/у точками на корд. Оси вычисляется по формуле:

d= d(M1,M2)=x2-x1. Если на плоскости задана прямоугольная декартова система координат, то расстояние м/у точками вычисляется по формуле: d= d(M1,M2)=(х21)2 + (y2-y1)2

Замечание: расстояние м/у точками М1(x1,y1,z1) и M2(x2,y2,z2) вычисляется по формуле: d= d(M1,M2)=(х21)2 + (y2-y1)2+(z2-z1)2

^ 13. (2) Деление отрезка в данном отношении

Пусть М1(x1,y1) и M2(x2,y2)-различные точки плоскости

Пусть М(х,у) лежит на отрезке М1M2 и делит его в отношении 1: 2, т.е. М1M / МM2=1/ 2

Требуется выразить координаты х и у точки М через координаты точек М1 и M2 и числа 1, 2. Предположим, что отрезок М1M2 не пераллелен оси ОУ, отсюда: М1M / МM2= МMх / МхM;

МMх=x1-x; МхM=x-x2, т.е. x1-x/x-x2=1/ 2

Тоска М лежеит м/у точками М1 и M2 х1 х х2 либо х1  х  х2  разности . x1-x и x-x2 имеют одинаковые знаки, а x1-x/x-x2=1/ 2 отсюда: х=2 х1 + 1 х2 /1+2

В случае, когда М1M2 параллелен ОУ, т.е. х12=х справедливость формулы у= х=2 у1 + 1 у2 /1+2 доказывается аналогичным рассуждением.





Скачать 433,96 Kb.
оставить комментарий
страница2/4
Дата20.09.2011
Размер433,96 Kb.
ТипИсследование, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4
плохо
  1
отлично
  4
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

наверх