скачать
ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА
Спецкурс «Уравнения, неравенства и их системы» предназначен для реализации в старшей школе, разработан в соответствии со Стандартом общего среднего образования по математике. Настоящий курс рассчитан на 68 часов и состоит из 10 модулей. Суть введения данного курса состоит в том, что школьная программа по алгебре и началам анализа 10-11 классов дополняется теоретико-практическим курсом, рассматривающим вопросы методов решения уравнений и неравенств повышенного уровня.
Есть много уравнений и неравенств, которые считаются для школьников задачами повышенной трудности. Для решения таких задач лучше всего применять не традиционные методы, а приемы, которые не совсем привычны для учащихся. Поэтому данный курс ставит своей целью познакомить учащихся с различными, основанными на материале программы общеобразовательной средней школы, методами решения, казалось бы, трудных задач; проиллюстрировать возможности использования хорошо усвоенных школьных знаний, привить обучающимся навыки употребления нестандартных методов рассуждения при решении уравнений и неравенств. Так как Единый государственный экзамен по математике сдается всеми обучающимися, предлагаемый спецкурс будет полезным для учащихся любого профиля.
Цели курса:
расширение и углубление знаний по теме «Уравнения и неравенства»;
обретение практических навыков решения уравнений и неравенств на более высоком уровне.
Задачи курса:
расширить представления обучающихся о приемах и методах решения уравнений и неравенств;
повысить уровень математического и логического мышления обучающихся;
способствовать приобретению исследовательских компетенций в решении математических задач;
повысить интерес к предмету;
помочь ученику оценить свой потенциал с точки зрения образовательной перспективы.
^
10 класс
Модуль 1. Рациональные уравнения и неравенства.(5 часов)
Приведенные алгебраические уравнения с целыми коэффициентами.
Алгебраические уравнения с целыми коэффициентами.
Симметрические уравнения.
Возвратные уравнения.
Рациональные неравенства. Метод интервалов.
Модуль 2. Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств.(4 часов)
Использование областей существования функций.
Использование не отрицательности функций.
Использование ограниченности функций.
Использование монотонности и экстремумов функции.
Использование свойств синуса и косинуса.
Модуль 3.Уравнения и неравенства с модулем.(7 часов)
Раскрытие знаков модулей.
Уравнения вида  .
Уравнения вида  .
Решение уравнений с модулем методом интервалов.
Уравнения, решение которых основано на свойствах модуля.
Неравенства вида  и  .
Неравенства вида  .
Решение неравенств с модулем методом интервалов.
Решение уравнений и неравенств, содержащих «модуль в модуле».
Модуль 4. Иррациональные уравнения и неравенства.(9 часов)
Уравнения вида  .
Уравнения вида  .
Уравнения вида  .
Уравнения вида  .
Метод умножения на сопряженное выражение.
Метод выделения полного квадрата в подкоренном выражении.
Метод разложения подкоренного выражения на множители.
Метод введения двух переменных.
Неравенства вида  и 
Неравенства вида 
Графический способ решения иррациональных неравенств.
Решение иррациональных неравенств методом интервалов.
Модуль 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.(9 часов)
Метод вспомогательного угла.
Переход к функциям удвоенного аргумента в уравнениях вида  и т.п.
Уравнения вида  .
Уравнения, решаемые с помощью универсальной тригонометрической подстановки.
Уравнения, решаемые с помощью формул тройного аргумента.
Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции.
Простейшие тригонометрические неравенства и неравенства, сводящиеся к ним.
Решение тригонометрических неравенств методом замены переменных.
11 класс
Модуль 6. Уравнения и неравенства с параметром.(8 часов)
Параметр и поиск решений уравнений и неравенств.
Параметр и количество решений уравнений и неравенств.
Параметр и свойства решений уравнений и неравенств.
Параметр как равноправная переменная.
Модуль 7. Показательные уравнения и неравенства.(5 часов)
Уравнения вида  .
Уравнения, содержащие переменную и в основании, и в показателе степени.
Уравнения, основания которых взаимно обратные и содержат корни.
Неравенства, решаемые с помощью свойств показательной функции.
Неравенства, содержащие переменную и в основании, и в показателе степени.
Модуль 8. Логарифмические уравнения и неравенства.(5 часов)
Уравнения второй степени и выше относительно логарифма, решаемые как алгебраические.
Однородные логарифмические уравнения.
Использование формул перехода к новому основанию при решении уравнений.
Логарифмические неравенства с переменным основанием.
Модуль 9. Системы уравнений.(8 часов)
Симметрические системы уравнений с двумя переменными.
Системы однородных уравнений и системы, приводящиеся к ним.
Системы иррациональных уравнений.
Системы показательных и логарифмических уравнений.
Системы, в которых одно уравнение алгебраическое, а другое содержит тригонометрические функции;
Системы, в которых оба уравнения содержат тригонометрические функции;
Системы уравнений смешанного типа.
Модуль 10. Трансцендентные уравнения и неравенства.(8 часов)
Трансцендентные уравнения и неравенства связанные со степенной, логарифмической и показательной функциями.
Трансцендентные уравнения и неравенства связанные с обратной тригонометрической функцией.
Трансцендентные уравнения и неравенства связанные тригонометрической функцией.
^
№
|
Наименование тем курса
|
Кол-во часов
|
В том числе
|
Форма контроля
|
лекций
|
Практических занятий
|
Семинаров коллоквиумов
|
1
|
Рациональные уравнения и неравенства.
|
5
|
1
|
4
|
|
Тест; сам/работа; конт/работа
|
2
|
Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств.
|
4
|
1
|
2
|
1
|
Теоретический зачет; сам/работа; конт/работа
|
3
|
Уравнения и неравенства с модулем.
|
7
|
1
|
5
|
1
|
сам/работа; тест; конт/работа
|
4
|
Иррациональные уравнения и неравенства.
|
9
|
2
|
5
|
2
|
Взаимоконтроль; сам/работа; конт/работа
|
5
|
Тригонометрические уравнения и неравенства.
|
9
|
2
|
6
|
1
|
Взаимоконтроль; сам/работа; тест; конт/работа
|
6
|
Уравнения и неравенства с параметром.
|
8
|
1
|
6
|
1
|
Взаимоконтроль; сам/работа
|
7
|
Показательные уравнения и неравенства.
|
5
|
1
|
4
|
|
Тест; сам/работа; конт/работа
|
8
|
Логарифмические уравнения и неравенства.
|
5
|
1
|
4
|
|
Взаимоконтроль; сам/работа; конт/работа
|
9
|
Системы уравнений.
|
8
|
2
|
5
|
1
|
Взаимоконтроль; сам/работа; конт/работа
|
10
|
Трансцендентные уравнения и неравенства.
|
8
|
1
|
7
|
|
сам/работа; конт/работа
|
^
Вводя обучающихся в тематику занятий, необходимо отметить, что умелое использование методов решения уравнений и неравенств, позволяет решать довольно сложные задачи, а иногда существенно упрощает ход самого решения.
Значительное место в учебном процессе должно быть отведено самостоятельной математической деятельности учащихся. Очень важно организовать дифференцированный подход к обучающимся, позволяющий избежать перегрузки и способствующий реализации возможностей каждого из них.
Основные формы организации занятий:
Это – информационные и объяснительные лекции, семинары, коллоквиумы, установочные, тренировочные и исследовательские практикумы. Поурочные домашние задания являются обязательными для всех. При этом проверка заданий для самостоятельного решения может быть организована в различной форме, на усмотрение учителя.
Контроль знаний и умений:
Контроль уровня усвоения материала осуществляется по результатам выполнения учащимися самостоятельных, тестовых работ в рамках модуля, а также через теоретические зачеты. По завершении изучения модуля проводится контрольная работа. Так как рассматриваемые типы задач относятся к разряду повышенной сложности, оценка «2» за контрольную работу не выставляется. Ученик, получивший оценку «неудовлетворительно» может исправить её на последующих занятиях.
^
Модуль 1. Рациональные уравнения и неравенства.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
различные нестандартные методы разложения многочлена на множители;
определения симметрических и возвратных уравнений, методы их решения;
некоторые нестандартные методы решения алгебраических уравнений;
метод интервалов для рациональных неравенств.
уметь:
раскладывать многочлены нестандартными методами;
решать симметрические уравнения третьей, четвёртой степени, возвратные уравнения;
решать рациональные неравенства обобщённым методом интервалов;
применять некоторые искусственные методы для решения алгебраических уравнений.
Использовать приобретённые знания и умения при выполнении заданий на уроках, ЕГЭ, олимпиадах.
Модуль 2. Использование свойств функции при решении уравнений и неравенств.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
основные свойства функций, которые применяются при решении уравнений и неравенств;
о применении производной при решении уравнений и неравенств.
уметь:
объяснять, на основе какого свойства функций решаются уравнения и неравенства;
использовать свойства функции при решении уравнений и неравенств.
применять производную для доказательства свойства функции, входящей в уравнение или неравенство.
Использовать приобретённые знания и умения при подготовке к ЕГЭ и сдаче ЕГЭ.
Модуль 3. Уравнения и неравенства с модулем.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
основные приемы решения уравнений и неравенств, содержащих модули;
уметь:
применять изученные приемы при решении уравнений и неравенств с модулем.
Использовать приобретённые знания и умения при выполнении заданий на уроках, при подготовке к ЕГЭ.
Модуль 4. Иррациональные уравнения и неравенства.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
различные методы и приемы решения уравнений, содержащих радикалы;
вопросы равносильности преобразований при решении;
приемы решения иррациональных неравенств;
уметь:
объяснять равносильность преобразований;
пользоваться изученными методами и приемами при решении иррациональных уравнений и неравенств.
Использовать приобретённые знания и умения при выполнении заданий на уроках, при подготовке к ЕГЭ.
Модуль 5. Тригонометрические уравнения и неравенства.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
различные методы решения тригонометрических уравнений;
вопрос потери корней при решении тригонометрических уравнений;
приемы решения тригонометрических неравенств;
уметь:
использовать основные методы при решении тригонометрических уравнений более высокого уровня;
владеть методом введения вспомогательного угла;
владеть методом введения универсальной подстановки;
решать уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции;
решать тригонометрические неравенства.
Использовать приобретённые знания и умения при выполнении заданий на уроках, ЕГЭ.
Модуль 6. Уравнения и неравенства с параметром.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
основные типы задач с параметром;
что значит решить уравнение и неравенство с параметром;
способы решения уравнений и неравенств с параметром;
уметь:
решать уравнения и неравенства с параметром.
Использовать приобретенные знания и умения при подготовке к ЕГЭ.
Модуль 7. Показательные уравнения и неравенства.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
различные приемы решения показательных уравнений разного вида;
различные приемы решения показательных неравенств разного вида.
уметь:
решать уравнения вида ;
решать уравнения, содержащие переменную и в основании, и в показателе степени;
решать неравенства, содержащие переменную и в основании, и в показателе степени;
использовать свойства показательной функции при решении неравенств.
Использовать приобретённые знания и умения при выполнении заданий на уроках, при подготовке к ЕГЭ.
Модуль 8. Логарифмические уравнения и неравенства.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
приемы решения логарифмических уравнений второй степени и выше;
формулы перехода к новому основанию;
приемы решения логарифмических неравенств, содержащих неизвестную в основании и в функции под логарифмом.
уметь:
решать логарифмические уравнения второй степени и выше;
решать однородные логарифмические уравнения;
использовать формулы перехода к новому основанию при решении уравнений;
использовать специальные приемы при решении логарифмических неравенств, содержащих неизвестную в основании и в функции под логарифмом.
Использовать приобретённые знания и умения при выполнении заданий на уроках и на ЕГЭ.
Модуль 9. Системы уравнений.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
основные методы, которые применяются при решении нестандартных алгебраических систем уравнений;
способы решения систем показательных, логарифмических и тригонометрических уравнений;
уметь:
анализировать пример;
использовать изученные методы решения систем;
объяснять ход решения.
Использовать приобретённые знания и умения при выполнении заданий на уроке и на ЕГЭ.
Модуль 10. Трансцендентные уравнения и неравенства.
В результате изучения данного модуля обучающиеся должны
знать:
способы решения трансцендентных уравнений и неравенств.
уметь:
использовать изученные способы решения трансцендентных уравнений и неравенств.
Использовать приобретённые знания и умения при выполнении заданий на уроке и на ЕГЭ.
^
Для учителя
Жафяров А.Ж. Профильное обучение математике старшеклассников. – Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2003. – 468 с.
Жафяров А.Ж. Математика 10-11. Профильный уровень. - М. : Просвещение, 2007. – 208 с.
Мерзляк А.К., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. – М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр – S, 1998. – 656 с.
Бородуля И.Т. Показательные и логарифмические уравнения и неравенства: Сборник задач. – М.: Просвещение, 1968. – 112с.
Потапов М.К., Шевкин А.В. Алгебра и начала математического анализа. Книга для учителя. 11 класс: базовый и профильный уровни. – Мю: Просвещение, 2009. – 256 с.
Фенько Л.М. Метод интервалов в решении неравенств и исследовании функций. 8 – 11 класс: учебное пособие. – М.: Дрофа, 2005. – 124 с.
Фальке Л.Я. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2002. – 120 с.
Ковалева Г.И., Бузулина Т.И., Безрукова О.Л., Розка Ю.А. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов. – Волгоград: Издательство «Учитель», 2005. – 496 с.
Мамонтова Г.Г. Математика. Подготовка к тестированию: пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования. – Мн.: Новое знание, 2005. – 686 с.
Клово А.Г., Мальцев Д.А., Абзелилова Л.И. Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ 2010: учебно-методическое пособие. – М.: НИИ школьных технологий, 2010.
Для обучающихся
Жафяров А.Ж. Математика 10-11. Профильный уровень. - М. : Просвещение, 2007. – 208 с.
Мерзляк А.К., Полонский В.Б., Рабинович Е.М., Якир М.С. Тригонометрия: Задачник к школьному курсу. – М.: АСТ-ПРЕСС: Магистр – S, 1998. – 656 с.
Фальке Л.Я. Изучение сложных тем курса алгебры в средней школе: Учебно-методические материалы по математике. – М.: Илекса; Ставрополь: Сервисшкола, 2002. – 120 с.
Ковалева Г.И., Бузулина Т.И., Безрукова О.Л., Розка Ю.А. Математика: тренировочные тематические задания повышенной сложности с ответами для подготовки к ЕГЭ и к другим формам выпускного и вступительного экзаменов. – Волгоград: Издательство «Учитель», 2005. – 496 с.
Мамонтова Г.Г. Математика. Подготовка к тестированию: пособие для учащихся учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования. – Мн.: Новое знание, 2005. – 686
Клово А.Г., Мальцев Д.А., Абзелилова Л.И. Математика. Сборник тестов по плану ЕГЭ 2010: учебно-методическое пособие. – М.: НИИ школьных технологий, 2010.
Добавить документ в свой блог или на сайт
|
