скачать
Ход учебного занятия:
Этап учебного занятия
|
время
|
Цель этапа
|
Компетенции
|
методы
|
формы
|
Используемые ЦОРы
|
знания
|
умения
|
1. Оргмомент.
|
2-3 минуты
|
Организация начала урока, подготовка учащихся к работе на уроке.
|
|
|
|
|
|
Деятельность учителя
|
Деятельность учащихся
|
Приветствует учащихся, проверяет их готовность к уроку, объявляет тему, цели и план урока:
Тема нашего урока «Применение интегралов.» Исходя из названия темы, назовите цель урока.
План урока: сначала повторим тот материал, который нам будет необходим для изучения темы, затем рассмотрим новые вопросы, в конце урока напишем небольшую самостоятельную работу по новой теме, чтобы увидеть, как поняли новую тему. В течение урока часть учащихся будет выполнять определенную работу на ПК. Для верного выполнения этой работы на столах лежат инструкции к работам №1, №2, №3 соответственно для трех учащихся, которые будут выполнять эти работы (см. приложение1). Результаты и оценки будут оглашены на следующем уроке после проверки выполненных работ (в зависимости от затраченного времени на выполнение задания, верности его выполнения и количества попыток решения)
Запишите в тетрадях число и тему урока.
|
Слушают учителя, отвечают на его вопросы.
Мы сегодня должны узнать различные области применения интегралов, научиться применять интегралы в этих областях.
Слушают учителя.
Записывают в тетрадях число и тему урока.
|
Этап учебного занятия
|
время
|
Цель этапа
|
Компетенции
|
методы
|
формы
|
Используемые ЦОРы
|
знания
|
умения
|
2.Актуализация знаний.
|
7 минут
|
Актуализация знаний и умений, необходимых для восприятия и уяснения нового материала.
|
Понятие и определение производной, первообразной, определенного и неопределенного интегралов, физический и геометрический смыслы первообразной и интеграла, понятие криволинейной трапеции.
|
Находить одну из первообразных функции, вычислять производную функции в точке, определенный интеграл,
|
Словесно-наглядный, метод эмпатии (вживания), метод образного видения,
|
Фронтальная работа, коллективная работа по общей теме, индивидуальная работа.
|
Электронное пособие «Математика,5-11 классы», раздел «Ось времени», упражнения в разделе «Первообразная», «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции.»
|
Деятельность учителя
|
Деятельность учащихся
|
Определяет группу учащихся для индивидуальной работы (работа №1 на ПК)
Для остальных учащихся организует устную работу с использованием презентации: предлагает вопросы, ответить на которые надо устно, при этом в тетрадях выписать ответы. В процессе фронтальной работы с учащимися выписывает верные ответы на доску.
Найти производную функции в точке a:
f(x)=2x2-3x+ ; a=1;
f(x)=-6x3-sin2x+9x- ; a=0;
f(x)=-cos6x+3x-0,3; a= ;
f(x)=(1-x)3+10x; a=0.
Найти среди предложенных функций ту, которая является первообразной для данной функции:
f(x)=x5-5x4; 8)F(x)=5x4-20x3; 1)F(x)= -x5-1; 4)F(x)=5x4-20x3+3; 5)F(x)=6x6- .
f(x)=sin2x+3; 2)F(x)= cos2x+3x-4; 4)F(x)=2cos2x; 6)F(x)= -cos2x+3x; 8)F(x)=2cos2x+3x.
f(x)= -; 3)F(x)= -x; 5)F(x)= - +1; 9)F(x)= - x; 7)F(x)= --x.
f(x)=2cos ; 2)F(x)=sin+2; 5)F(x)=4sin; 4)F(x)=- 4sin; 8)F(x)=2sinx-1.
Вычислить:  ;  ;  ;  .
Оказывается , у нас получились не простые ответы, а интересные даты: в 1797 г. известный ученый Лагранж впервые ввел термин «производная» и символ f/, g/; d 1675 г. Лейбниц впервые ввел символ ; в 1690 г. Бернулли впервые ввел термин «интеграл». (С помощью оси времени ЭУИ «Математика,5-11 классы» учитель показывает учащимся портрет Лейбница и дает о нем короткую справку.)
Вернемся к заданиям: какова связь между производной и первообразной?
Какова связь между первообразной и неопределенным интегралом?
Что же такое – определенный интеграл  ? В чем заключается его физический и геометрический смысл?
|
Учащиеся, сидящие за ПК, выполняют индивидуальную работу согласно инструкции №1 (ЭУИ «Математика, 5-11», упражнения в разделе «Первообразная» №2, 4, 8, 11, в разделе «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции.» №6, 7.
Остальные учащиеся выполняют устные задания учителя, записывают ответы в тетрадях, составляют краткий конспект урока.
Найти производную функции в точке a: 1 7 9 7.
Найти среди предложенных функций ту, которая является первообразной для данной функции:
1 6 7 5
Вычислить: 1 6 9 0
Слушают учителя, отвечают на его вопросы.
Найти производную функции и найти первообразную функции – значит выполнить взаимно-обратные операции.
Неопределенный интеграл –это есть первообразная функции в общем виде.
Определенный интеграл-это площадь криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции y=f(x), прямыми х=а, х=b и самим отрезком [a;b].
Определенный интеграл-это приращение первообразной на отрезке [a;b].
Определенный интеграл- это предел интегральных сумм.
С помощью определенного интеграла можно найти площадь криволинейной трапеции- в этом заключается геометрический смысл определенного интеграла; можно найти закон изменения координаты точки по закону ее скорости- в этом заключается физический смысл определенного интеграла.
|
Этап учебного занятия
|
время
|
Цель этапа
|
Компетенции
|
методы
|
формы
|
Используемые ЦОРы
|
знания
|
умения
|
3.Подготовка к изучению темы.
|
3 минуты
|
Погружение учащихся в активную мыслительную деятельность, мотивация изучения нового материала.
|
Понятия первообразной, интеграла, криволинейной трапеции..
|
Читать грамотно математические записи; уметь находить площадь криволинейной трапеции..
|
Словесно-наглядный.
|
Фронтальная
|
Электронное пособие «Математика,5-11 классы», виртуальная лаборатория «Графики уравнений и неравенств»
|
Деятельность учителя
|
Деятельность учащихся
|
Задает серию устных вопросов, используя презентацию:
Прочитать несколькими способами следующие записи:
F/(x)=f(x);
x/(t)=v(t), x-координата, t-время, v-скорость;
v/(t)=a(t), v-скорость, t-время, а-ускорение;
А/(х)=F(x), A-работа, F-сила, х-координата;
А/(t)=N(t), A-работа, N-мощность, t-время;
q/(t)=I(t), q-электрический заряд, I-сила переменного тока, t-время;
Q/(t)=c(t), Q-количество теплоты, c-теплоемкость, t-время.
Оказывается, интеграл широко применяется в физике А что еще мы умеем находить с помощью определенного интеграла?
Как найти площадь следующих фигур?(см. приложение, рисунки созданы с помощью виртуальной лаборатории «Графики уравнений и неравенств»)
 
Итак, определенный интеграл помогает решить некоторые вопросы физики, геометрии.
|
Отвечают на вопросы учителя:
Прочитать несколькими способами следующие записи:
а) производная F(x) –есть f(x); f(x)-есть первообразная для F(x); неопределенный интеграл -есть функция F(x).
b)-q)-по аналогии, учитывая названия переменных.
С помощью определенного интеграла мы можем вычислять площади плоских фигур.
Отвечают на вопрос учителя с помощью понятия определенного интеграла.
|
Этап учебного занятия
|
время
|
Цель этапа
|
Компетенции
|
методы
|
формы
|
Используемые ЦОРы
|
знания
|
умения
|
4.Объяснение нового материала.
|
13 минут
|
Обозначить перед учащимися проблему отыскания объема тела и решить эту проблему.
|
Объем куба, прямоугольного параллелепипеда, понятие определенного интеграла.
|
Вычислять объем куба, прямоугольного параллелепипеда, вычислять определенный интеграл.
|
Словесно-наглядный, частично-поисковый
|
Фронтальная, индивидуальная.
|
|
Деятельность учителя
|
Деятельность учащихся
|
Предлагает учащимся найти объем куба с ребром 4см; прямоугольного параллелепипеда с измерениями 2см, 3см, 5см; объем воды, которую вмещает некоторая ваза; объем лимона; объем детской игрушки- пирамидки.
Как вы думаете, как же можно найти объемы этих тел?
Учитель соглашается с предложением учащихся и с помощью наглядных материалов (пирамида, ваза, указка, нарезанный лимон), рисунков на доске и пояснений показывает учащимся, что объем тела можно вычислить по формуле V= , где S(x)-функция площади сечения данного тела, перпендикулярного данной оси ОХ; тогда объем тела вращения можно вычислить по формуле V= , учитывая, что перпендикулярное сечение представляет собой круг, площадь которого вычисляется по известной формуле, причем f(x)- функция, графиком которой ограничена на отрезке [a;b] фигура вращения.
Предлагает решить задачу: Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями у=х2+1, х=0, х=1, у=0.
Таким образом можно вычислять объемы тел вращения. (можно заметить, что тело вращения в решенной задаче напоминает столовую тарелку)
|
Находят значения предложенных тел: объем куба равен 64 см3, объем прямоугольного параллелепипеда равен 30см3, в остальных случаях вопрос остается открытым (проблема)
Учащиеся догадываются и предлагают «разбить» тела на части и рассмотреть сумму объемов составляющих тел.
Слушают учителя, ведут краткие записи в тетрадях.
Решают задачу (сначала выполняют необходимые построения в тетрадях, часть учащихся выполняют эту работу с помощью ПК, согласно предложенной учителем инструкции №2, проверяют правильность построения с помощью предложенного учителем рисунка, выполненного в виртуальной лаборатории «Графики уравнений и неравенств», затем выполняют соответствующие вычисления, проверяют их с помощью записей на доске):
S= =( + + ) = (куб. ед.)
|
Этап учебного занятия
|
время
|
Цель этапа
|
Компетенции
|
методы
|
формы
|
Используемые ЦОРы
|
знания
|
умения
|
5.Закрепление знаний.
|
10 минут
|
Закрепить умение вычислять объемы тел вращения, уметь работать в новой ситуации.
|
Графики элементарных функций, объем тел вращения.
|
Уметь строить графики элементарных функций, находить объемы тел вращения
|
Метод самообучения, метод взаимообучения, самопроверки, взаимопроверки, частично-поисковый
|
Индивидуальная, фронтальная
|
Электронное пособие «Математика,5-11 классы», виртуальная лаборатория «Графики уравнений и неравенств»
|
Деятельность учителя
|
Деятельность учащихся
|
Предлагает вычислить объем тел, полученных при вращении вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной линиями а) у= , х=1, х=4, у=0; б) у=х2, у=х. ( наблюдает за работой учащихся, при необходимости дает им индивидуальные консультации, предлагает на экране нужные для решения задач рисунки, созданные с помощью виртуальной лаборатории)
 
Как можно вычислить объем тел, полученных при вращении вокруг оси ох следующих фигур (предлагает рисунки из ранее проделанной работы, этап подготовки к изучению темы, задание 3)
Итак, с помощью интеграла можно находить объемы более сложных тел вращения.
|
Решают предложенные задачи самостоятельно, проверяют решения с помощью рисунков на экране и записей на доске, часть учащихся продолжают работать на ПК согласно инструкции №2.
Отвечают на вопросы учителя.
Слушают учителя.
|
Этап учебного занятия
|
время
|
Цель этапа
|
Компетенции
|
методы
|
формы
|
Используемые ЦОРы
|
знания
|
умения
|
6.Проверка усвоенного на уроке. Подведение итогов урока, инструктаж по выполнению домашнего.
|
6 минут
|
Проверить уяснение и понимание материала
|
Графики элементарных функций, объем тел вращения.
|
Уметь строить графики элементарных функций, находить объемы тел вращения
|
Метод самообучения, метод самопроверки
|
Индивидуальная, фронтальная
|
Электронное пособие «Математика,5-11 классы», упражнения в разделе «Приложения интеграла.»
|
Деятельность учителя
|
Деятельность учащихся
|
Предлагает учащимся выполнить самостоятельную работу:
Найти объем тел, полученных при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями: а)у=1-х2, у=0; б) у=2х, у=х+3, х=0, х=1.
Определяет группу учащихся для индивидуальной работы на ПК.
Предлагает решения задач для самопроверки.
Подводит итоги по выполнению задания.
Подводит итоги урока (Что нового узнали на уроке? В каких областях применим интеграл? Как можно вычислить объем тела вращения?)
Предлагает домашнее задание: а) Найти объем тела, полученного при вращении вокруг оси абсцисс фигуры, ограниченной линиями
у=х+2, у=1, х=0, х=2;
у= , у=х;
у=х2-4х+6, у=1, х=1, х=3;
у=cosx, y=1, x= , x=-.
б)*Найти задачу с интересным условием, которая решалась бы с применением интегралов, создать презентацию ее решения. (последнее задание выполняется по желанию, защита работы возможна на конференции)
|
Выполняют предложенную учителем работу самостоятельно в тетрадях, часть учащихся индивидуально выполняют работу на ПК согласно инструкции №3 (Электронное пособие «Математика,5-11 классы», упражнения №1, 2 в разделе «Приложения интеграла.»).
Выполняют самопроверку решений.
Слушают учителя.
Слушают учителя, отвечают на его вопросы.
Слушают инструктаж по выполнению домашнего задания.
|
Литература:
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы/ под ред. А. Н. Колмогорова, М.: Просв.,1991
Алгебра и начала анализа. Учебник для 10-11 классов средней школы/ М. И. Башмаков, М.: Просв.,1992
Приложение 1
Инструкция для индивидуальной работы учащихся.
Работа №1.
Проверь, открыто ли на экране окно «Оглавление» электронного учебного издания «Математика 5-11».
Найди рубрику «Начала анализа», в ней п. 2.1 «Первообразная»
Выполни упражнения №2, 4, 8, 11. При необходимости вычисления можно выполнять на черновике.
Выполнив эти упражнения, вернись на страницу «Начала анализа» и найди п.2.2 «Интеграл. Площадь криволинейной трапеции.»
Выполни упражнения №6. При этом построения графиков выполняй с помощью панели инструментов.
Завершив работу, вернись в окно «Оглавление.»
Работа №2.
Проверь, открыто ли на экране окно «Оглавление» электронного учебного издания «Математика 5-11».
Войди в раздел «Виртуальные лаборатории»
Найди лабораторию «Графики уравнений и неравенств»
С помощью панели инструментов выполни построения графиков, необходимых для решения задач. Вычисления запиши в тетрадь.
Завершив работу, вернись в окно «Оглавление.»
Работа №3.
Проверь, открыто ли на экране окно «Оглавление» электронного учебного издания «Математика 5-11».
Найди рубрику «Начала анализа», в ней п. 2.3 «Приложения интеграла»
Выполни упражнения №1. 2.
Завершив работу, вернись в окно «Оглавление.»
Добавить документ в свой блог или на сайт
|
