Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся Автор -дьячков Алексей Константинович, учитель математики моу сош №153 г. Челябинска, Заслуженный учитель РФ icon

Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся Автор -дьячков Алексей Константинович, учитель математики моу сош №153 г. Челябинска, Заслуженный учитель РФ


1 чел. помогло.
Смотрите также:
Организационно-педагогические условия функционирования педагогической технологии исследования по...
Программа и дидактические материалы предметно-ориентированного курса по выбору для...
Создание на уроках математики условий для реализации проектной и исследовательской деятельности...
В 11 кл
Открытый доклад моу каменностепной сош...
Развитие коммуникативной компетентности учителя /работа с родителями...
Учебного занятия: «Греко-персидские войны»...
Продукт иод «умк тур С. Н., Бокучава Т. П. по информатике для 1, 2-4, 5-6 классов»...
Учебно-методическое пособие. Озёрск: уо администрации г. Озёрска, моу сош №38, 2004. 281 с...
Методическое пособие по работе с детьми старшего дошкольного возраста...
Программа элективного курса «уравнения с двумя переменными»...
Программа курса для 7 класса общеобразовательных учреждений...



Загрузка...
страницы:   1   2   3
Управление образования Центрального района г. Челябинска

Муниципальное Общеобразовательное учреждение

Средняя общеобразовательная школа №153


Функционально-графический подход к решению задач с параметрами.

Учебно-методическое пособие для учителей и учащихся


Автор -Дьячков Алексей Константинович, учитель математики МОУ СОШ №153 г. Челябинска, Заслуженный учитель РФ.


г. Челябинск, 2010 год

Настоящее методическое пособие составлено в связи с тем, что решение задач с параметрами вызывает затруднения учителей и учащихся. В пособии даются примеры решения задач с параметрами. При его подготовке была использована методическая литература и Интернет-ресусы.

За последние годы издано много учебных и методических пособий и сборников задач указанного типа. В 2010 году, например, опубликовано пособие В.Голубева и А. Гольдмана «О задачах с параметрами», теоретические основы которого можно использовать при обучении школьников. Если мы вспомним некоторые основные уравнения (например, kx+l=0, ax2+bx+c=0), то обратим внимание, что при поиске их корней значения остальных переменных, входящих в уравнения, считаются фиксированными и заданными. Все разночтения в существующей литературе связаны с толкованием того, какими фиксированными и заданными могут быть эти значения остальных переменных.

Например, в уравнениях |x|=a–1 и ax=1 при a=0 равенства не выполняются при любых значениях переменной x, а в уравнения при a=0 их левые части не определены. Есть авторы, допускающие рассмотрение значения a=0 во всех приведенных случаях, и есть авторы, исключающие его в двух последних, вводя понятие допустимых значений переменной a.

Поскольку в школьных учебниках нет определения параметра, можно предложить взять за основу следующий его простейший вариант.

Определение. Параметром называется независимая переменная, значение которой в задаче считается заданным фиксированным или произвольным действительным числом, или числом, принадлежащим заранее оговоренному множеству.

 Независимость параметра заключается в его «неподчинении» свойствам, вытекающим из условия задачи. Например, из неотрицательности левой части уравнения |x|=a–1 не следует неотрицательность значений выражения a–1, и если a–1<0, то мы обязаны констатировать, что уравнение не имеет решений.

 Что означает «решить задачу с параметром»?

Естественно, это зависит от вопроса в задаче. Если, например, требуется решить уравнение, неравенство, их систему или совокупность, то это означает предъявить обоснованный ответ либо для любого значения параметра, либо для значения параметра, принадлежащего заранее оговоренному множеству.

Если же требуется найти значения параметра, при которых множество решений уравнения, неравенства и т. д. удовлетворяет объявленному условию, то, очевидно, решение задачи и состоит в поиске указанных значений параметра.

Более прозрачное понимание того, что означает решить задачу с параметром, у читателя сформируется после ознакомления с примерами решения задач на последующих страницах.

^ Основные типы задач с параметрами?

Тип 1. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, которые необходимо решить либо для любого значения параметра (параметров), либо для значений параметра, принадлежащих заранее оговоренному множеству.

Этот тип задач является базовым при овладении темой «Задачи с параметрами», поскольку вложенный труд предопределяет успех и при решении задач всех других основных типов.

Тип 2. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра (параметров).

При решении задач данного типа нет необходимости ни решать заданные уравнения, неравенства, их системы и совокупности и т. д., ни приводить эти решения; такая лишняя в большинстве случаев работа является тактической ошибкой, приводящей к неоправданным затратам времени. Однако не стоит абсолютизировать сказанное, так как иногда прямое решение в соответствии с типом 1 является единственным разумным путем получения ответа при решении задачи типа 2.

Тип 3. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения, неравенства, их системы и совокупности имеют заданное число решений (в частности, не имеют или имеют бесконечное множество решений). Легко увидеть, что задачи типа 3 в каком-то смысле обратны задачам типа 2.

Тип 4. Уравнения, неравенства, их системы и совокупности, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.

Например, найти значения параметра, при которых:

1) уравнение выполняется для любого значения переменной из заданного промежутка;

2) множество решений первого уравнения является подмножеством множества решений второго уравнения и т. д.

 Многообразие задач с параметром охватывает весь курс школьной математики (и алгебры, и геометрии), но подавляющая часть из них на выпускных и вступительных экзаменах относится к одному из четырех перечисленных типов, которые по этой причине названы основными.

Наиболее массовый класс задач с параметром — задачи с одной неизвестной и одним параметром. Следующий пункт указывает основные способы решения задач именно этого класса.

^ Основные способы (методы) решения задач с параметром

Способ I (аналитический). Это способ так называемого прямого решения, повторяющего стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра. Иногда говорят, что это способ силового, в хорошем смысле «наглого» решения.

Аналитический способ решения задач с параметром есть самый трудный способ, требующий высокой грамотности и наибольших усилий по овладению им.

Способ II (графический). В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики или в координатной плоскости (x; y), или в координатной

плоскости (x; a).


В школьном математическом словаре дано общее определение понятия параметр:

«Параметр – величина, характеризующая основные свойства системы или явления».

Решить уравнение с параметром -это значит, для каждого значения параметра найти значения x, удовлетворяющие условию этой задачи.

.

В математике ярким и всем известным с 8 класса уравнением с параметром является уравнение квадратного трехчлена: . В зависимости от коэффициентов и дискриминанта , график данного уравнения может иметь различное положение на координатной плоскости.

Определение: В уравнениях (неравенствах) коэффициенты при неизвестных или свободные члены заданные не конкретными числовыми значениями, а обозначенные буквами, называются параметрами.

Как зависит от коэффициента а график квадратичной функции?

Направление ветвей параболы: если а положительно, то ветви параболы направлены вверх, если а – отрицательно, то ветви параболы направлены вниз.


Что зависит от дискриминанта?

Количество решений квадратного уравнения. Если , то решений нет, если , один корень, если то уравнение имеет два корня.

Рассмотрим преобразование построение графика функций в зависимости от параметра на примере функции абсолютной величины числа. Простейшая функция задается уравнением y=IxI .Графиком этой функции является «прямой угол», с вершиной в начале координат, образованный биссектрисами первого и второго квадранта (четверти) на координатной плоскости. На чертежах показаны примеры преобразований (параллельных переносов) этого графика в зависимости от значений параметров a и b.

На чертеже предложены изображения пяти графиков функций, и даны пять формул. Можно сопоставить формулу и её графический образ.

1 Формула задает квадратичную функцию, её графиком является парабола, 1 рисунок.

2 Формула задает функцию абсолютной величины числа, её графиком является «прямой угол», 3 рисунок.

3 Формула задает обратную пропорциональность, её графиком является гипербола, 2 рисунок.

4 Формула задает прямую пропорциональность, её графиком является прямая, 5 рисунок.

Формула задает «полупараболу», направленную вдоль оси абсцисс, рисунок 4.

Запишем схему решения уравнений графическим способом.

1. строим графики и .

2. находим точки пересечения графиков.

3. выписываем ответ.

Рассмотрим образец решения задачи с параметром.

Задача. Решите уравнение . (1 способ решения – аналитический)

Решение. Заметим, что левая часть уравнения неотрицательна при всех значениях неизвестной, следовательно, при отрицательном значении параметра решений нет. Если параметр , то уравнение принимает вид , и имеет один корень . При положительном значении параметра а, данное уравнение имеет два корня .

Ответ: при , корней нет;

при , один корень ;

при , два корня .

2 –ой способ решения – графический.

Построим в одной системе координат графики обеих частей уравнения: параболу и семейство прямых , которые движутся вдоль оси ординат. По рисунку записываем ответ.

Графическим способом задача решается быстрее. На рисунке все решение видно.

Достаточно одного взгляда, чтобы определить количество корней уравнения в зависимости от параметра а. Можно было без объяснения сделать чертеж, и написать одно слово «Смотри!», именно так поступали древнегреческие учителя, обучая своих учеников доказательству теоремы Пифагора.

Задача. При каких значениях параметра а уравнение имеет единственное решение?

Решение. Записываем данное уравнение в виде . Построим графический образ обеих частей уравнения. Левая часть представляет собой «прямой угол», ветви направлены вниз, вершина (2;3). Правая часть представляет семейство прямых параллельных оси абсцисс. Из чертежа видно, что единственное решение возможно при .

Ответ:




Задача. При каких значениях параметра а уравнение не имеет решений?




Решение. Построим графический образ обеих частей уравнения. Левая часть представляет собой «прямой угол», ветви направлены вверх, вершина (1;-1). Правая часть представляет семейство прямых параллельных оси абсцисс. Из чертежа видно, что решений нет при .

Ответ:

Вывод о решении задач с параметром графическим способом в общем виде.

Задачу с параметром будем рассматривать как функцию . Алгоритм решения:

1. строим графический образ.

2. пересекаем полученное изображение прямыми, параллельными оси абсцисс.

3. Считываем нужную информацию.

Примеры графической интерпретации решений заданий с параметром на основе исследования свойств графиков достаточно известных и простых уравнений таких геометрических фигур, как: прямая, окружность, парабола, синусоида, квадрат, ломаная линия, угол показывают, что решения становятся абсолютно наглядными, естественными и достаточно простыми. Если уравнение одной из фигур не зависит от изменяющегося параметра, то график этой фигуры неподвижен относительно системы координат. Если в уравнение другой фигуры входит параметр, то от его изменения  зависит расположение и даже форма графика. Тогда суть решения уравнения состоит в определении числа точек пересечения графиков построенных уравнений, а значит в определении количества возможных решений в зависимости от конкретных числовых значений параметра.  Для усложнения заданий эти уравнения искусственно преобразуют, «камуфлируют». Дополнительная сложность возникает при поиске чисто аналитического метода решения. При его геометрической интерпретации часто решения становятся абсолютно наглядными, естественными и достаточно простыми, таким образом, преимущество на экзамене получают те из школьников или абитуриентов, кто владеет незаурядным аналитическим и образно-геометрическим мышлением. Однако, далеко не все задания с параметром предполагают применение геометрической интерпретации, а только задания очень высокого учебно-методического и развивающего уровня.  Поэтому следует научиться решать задачи и аналитическими способами, исследуя свойства функций, содержащихся в уравнении или неравенстве. Ниже приведены решения двух подобных заданий.

^ Задание №1. Найдите все значения параметра а при которых уравнение:

 имеет два решения.

Первая идея – выделить полный квадрат относительно параметра а:



 

Следующая идея не столь очевидная, но абсолютно естественная – выделить полный квадрат относительно модуля х. Тогда не будет необходимости в раскрытии модульных скобок.



 Первая часть решения завершена. Мы пришли к тому, что левая часть уравнения зависит от параметра, а правая не зависит. Далее предстоит  исследование на число точек пересечения графиков уравнений:



 Преобразуем второе уравнение:

.

Второе уравнение описывает окружность с центром в начале координат и радиусом равным 3. Эта окружность не зависит от параметра и не меняет своего положения в процессе исследования. Более интересным в этом отношении является  график первого уравнения, вернее целое семейство графиков. Параметр а придаёт этому уравнению динамичность перемещения относительно координатных осей и изменчивость формы графика от прямого угла до ломаной линии с прямыми

углами. А именно, при  а – 5 ≥ 0  график первого уравнения имеет вид:



Рис. 1

При  а – 5 < 0  график преобразуется в ломаную линию следующего вида:



Рис. 2

Исследуем графически решение системы:



Тогда система и исходное уравнение имеют два решения.



^ Рис. 3


Теперь исследуем эту же систему при  a – 5 < 0. В этом случае два решения возможны когда: -3 < a – 5 < 0, то есть для значений параметра в пределах 2 < a < 5.

Графически эти решения получаются следующим образом:



Рис. 4

При a – 5 = -3 то есть при a = 2 уравнение имеет три корня. При a < 2 уравнение имеет четыре решения до тех пор, пока графики окружности и ломаной имеют четыре общие точки. Но наступит момент, когда соответствующие секущие станут касательными, и тогда уравнение снова будет иметь только два решения.



Рис. 5


В этом случае:

 

Объединяя все полученные решения, имеем:

 

 Формулировка следующего задания очень похожа на только что решённое, но метод решения совершенно иной и аналогия здесь просто не работает.

^ Задание №2. Найти все значения параметра а, при каждом из которых меньший корень уравнения меньше 5.

Выразим координаты вершин M(m;n) парабол

 

(Каждому конкретному значению параметра а соответствует определённая парабола).

 

Как видно, обе координаты вершин парабол линейно зависят от параметра а. Это означает, что все возможные вершины рассматриваемых парабол принадлежат некоторой прямой. Фактически уже задано так называемое параметрическое уравнение этой прямой. Для получения уравнения в координатной плоскости  xOy остаётся ввести новые переменные, и исключить из уравнений координат  параметр а.

 

Получили уравнение прямой, на которой лежат вершины всех парабол, отвечающих уравнению: 



График любой из этих парабол можно получить параллельным переносом параболы

на вектор с началом  в начале координат и с концом  на графике прямой 

Так как  2 > 0, то ветви всех парабол направлены вверх. Следовательно, при n ≥ 0 уравнение либо имеет один действительный корень, либо ни одного. Тогда значения параметра а , удовлетворяющие условию задания, можно найти, вычислив координаты  вершины  такой параболы, левая ветвь которой проходит через точку А (5;0).



Рис. 6


При m = -2,5 , тогда:

 

Найдём значение параметра а, соответствующего параболе, левая ветвь которой проходит через точку (5;0).

 

Таким образом, при -0,5 < a <  4 вершины парабол находятся ниже оси абсцисс и меньший корень исходного уравнения меньше 5.

Широкое распространение за последние годы в ходе государственной (итоговой) аттестации выпускников средней школы в формате ЕГЭ и на вступительных экзаменах в вузы, предъявляющие повышенные требования к математической подготовке абитуриентов, получили задачи на использование расположения корней квадратного трехчлена на оси.

Выделим два наиболее распространенных типа задач, связанных с применением графика квадратичной функции. Первый тип - задачи, в которых изучается расположение корней квадратного трехчлена относительно точки с абсциссой, равной m. Второй тип - задачи, в которых выясняется, как расположены корни квадратного трехчлена относительно отрезка.





Скачать 349.47 Kb.
оставить комментарий
страница1/3
Дьячков Алексей Константинович
Дата16.09.2011
Размер349.47 Kb.
ТипУчебно-методическое пособие, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3
отлично
  2
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Загрузка...
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх