Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика» icon

Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета по дисциплине «Математика»


4 чел. помогло.

Смотрите также:
Методические рекомендации к выполнению контрольных работ для студентов 1 курса вечерне-заочного...
Методические указания к выполнению контрольных работ №1...
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов заочного факультета (для...
Методические рекомендации по выполнению контрольных работ для студентов заочного факультета (для...
Методические рекомендации по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ Для студентов...
Методические рекомендации по изучению дисциплины и выполнению контрольных работ Для студентов...
Методические указания по выполнению контрольных работ Для студентов-заочников...
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов 1 курса заочной формы...
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов 1 курса факультета сервиса...
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов 2 курса экономического...
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов 1 курса факультета...
Методические указания по выполнению контрольных работ для студентов 2 курса факультета...



страницы:   1   2   3   4   5
скачать


ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО РЫБОЛОВСТВУ

фгоувпо «МУРМАНСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ»


Кафедра высшей математики


и программного обеспечения ЭВМ




Методические рекомендации к выполнению контрольных

работ для студентов 1 курса вечерне-заочного факультета

по дисциплине «Математика»



Часть 3.


Интегральное исчисление функции одной переменной.

Дифференциальные уравнения.







Мурманск

2006 г.


УДК 514.2 + 512.64 + 514.144.2 (075.8)

ББК 22.151.5 + 22.143Я73

М 33

Составители – Великая Елена Евгеньевна, старший преподаватель кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Мостовская Любовь Григорьевна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ;

Хохлова Людмила Ивановна, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ


Методические рекомендации рассмотрены и одобрены кафедрой ВМ и ПО ЭВМ 15 февраля 2006 г., протокол № 4




Рецензент – Кацуба В.С., канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры высшей математики и программного обеспечения ЭВМ МГТУ


Редактор

Корректор


Мурманский государственный технический университет, 2006

Оглавление

Стр.

Введение…………………………………………………………………………. 4

Методические указания по темам «Интегральное исчисление функции

одной переменной» и «Дифференциальные уравнения»...……………………5

Справочный материал по теме «Интегральное исчисление функции одной

переменной»……………………………………………………………………… 7

  1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов……..7

  2. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной под

знаком неопределенного интеграла………………………………….…………. 8

  1. Интегрирование по частям …………………………………………… … 9

  2. Интегрирование рациональных дробей……………………………….. 10

  3. Интегрирование некоторых тригонометрических функций………….. 10

  4. Определенный интеграл. Формула Ньютона–Лейбница …………...... 11

  5. Несобственные интегралы первого и второго рода…………………….11

  6. Вычисление площади плоской фигуры в декартовой системе

координат (ДСК)…………………………………………………………...…… 13

  1. Вычисление площади в полярной системе координат (ПСК)……..…..13

  2. Вычисление объема тела вращения…………………………………..... 14

  3. Вычисление длины дуги плоской кривой…..………………………….. 14

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №5 ...........15

Справочный материал по теме «Дифференциальные уравнения»………….. 21

1. Дифференциальные уравнения 1-го порядка…………………….......... 21

2. Методы решения основных типов дифференциальных уравнений

1-го порядка……………………………………………………………………...22

3. Дифференциальные уравнения 2-го порядка…………….……………. 29

4. Решение дифференциальных уравнений 2-го порядка,

допускающих понижение порядка ……………………………………………. 30

5. Решение линейных дифференциальных уравнений 2-го порядка с

постоянными коэффициентами …………………………………………..…… 34

6. Системы двух линейных дифференциальных уравнений и их

решение порядка методом повышения порядка …………………………….. 40

Примерный вариант и образец выполнения контрольной работы №6….….. 41

Варианты контрольных работ………………………………………………….. 49

Рекомендуемая литература …………………………………………….............. 56


Введение


В настоящем пособии содержатся методические рекомендации к изучению теоретического материала и выполнению контрольных работ по темам «Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения», варианты этих контрольных работ и список рекомендуемой литературы.

В результате изучения этих тем студенты должны:

• изучить основные методы интегрирования – интегрирование методом замены переменной и интегрирование по частям, научиться интегрировать рациональные дроби и тригонометрические функции;

• получить представление об определенном интеграле и его свойствах, научиться вычислять его по формуле Ньютона–Лейбница;

• научиться исследованию несобственных интегралов первого и второго рода на сходимость и расходимость;

• научиться использовать определенный интеграл для решения геометрических задач, таких как вычисление площади плоской фигуры, объема тела вращения, длины дуги плоской кривой.

• знать основные понятия теории дифференциальных уравнений (порядок дифференциального уравнения, его общее и частное решения, начальные условия и др.) и уметь определять тип дифференциального уравнения;

• знать и уметь использовать методы решения основных типов дифференциальных уравнений 1-го порядка а также дифференциальных уравнений 2-го порядка, допускающих понижение порядка;

• уметь решать линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами и системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка методом повышения порядка.

Данные методические рекомендации включают также справочный материал, необходимый для выполнения контрольных работ по темам «Интегральное исчисление функции одной переменной» и «Дифференциальные уравнения», и подробные решения примерных вариантов работ со ссылками на используемый справочный материал.

^ Методические указания по темАМ

«Интегральное исчисление функции одной переменной»

И «Дифференциальные уравнения»

В таблице 1 приведены наименования тем в соответствии с содержанием контрольных работ и ссылки на литературу по этим темам. Перед выполнением каждой из контрольных работ рекомендуется изучить соответствующий теоретический материал и решить указанные в таблице задачи.

Таблица 1.



к.раб.



задачи

Содержание (темы)

Литература

5

2

3

4

5

1

Первообразная и неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов. Основные методы интегрирования: метод замены переменной, интегрирование по частям

[1], гл.VII, §29, 30; [3], гл.7, §1-4;

[4], гл.IX, №1337-1350, 1368-1371, 1373-

1375; 1392-1396;

[6], гл.6, № 2-14, 36-50, 102, 103, 108, 109,

114, 118-120

5

2

Интегрирование рациональных дробей. Интегрирование некоторых тригонометрических функций

[1], гл.VII, §31, 32; [3], гл.7, §5, 6.3;

[4], гл.IX, №1410-1416, 1428-1434, 1489-

1490, 1494-1505; [6], гл.6, № 172, 177-180,

193, 194-199, 230-242

5

3

Определенный интеграл и его свойства. Вычисление определенного интеграла по формуле Ньютона–Лейбница. Несобственные интегралы первого и второго рода

[1], гл.VIII, §35-40; [3], гл.8, §1, 4-9, 11;

[4], гл.X, №1552-1554, 1559-1560; 1572-

1578;

[6], гл.6, № 255-266, 355-360, 366-369

5

4

Приложение определенного интеграла: вычисление площади плоской фигуры

[1], гл.VIII, §41.1, 41.2; [3], гл.8, §10.1, 10.2; [4], гл.X, №1596-1601;

[6], гл.6, № 290-294,301, 302

Окончание таблицы 1.


1

2

3

4

5

5

Приложение определенного интеграла: вычисление объема тела вращения

[1], гл. VIII, §41.4; [3], гл.8, §10.4;

[4], гл.X, №1628-1631;

[6], гл.6, № 319-323

5

6

Приложение определенного интеграла: вычисление длины дуги плоской кривой

[1], гл. VIII, §41.3; [3], гл.8, §10.3;

[4], гл.X, №1613-1618;

[6], гл.6, № 307-312

6

1

Дифференциальные уравнения 1-го порядка

[2], гл.I, §1.1, 1.2, 2.1-2.4; [3], гл.15, § 1.1-

1.6; [5], гл.IV, № 515-517, 550-556,603-608;

[6], гл.14, № 32-38, 43-54, 61-64, 139-140

6

2

Дифференциальные уравнения 2-го порядка, допускающие понижение порядка

[2], гл.I, §3.1, 3.2; [3], гл.15, § 2.1-2.2;

[5], гл. IV, № 651, 652, 654, 659-665

6

3

Линейные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами

[2], гл.I, §3.4, 4.1, 5.1-5.3; [3], гл.15, § 3-4;

[5], гл.IV, № 696-699; 721-726;

[6], гл.14, № 98-111, 180, 184, 185

6

4

Системы линейных дифференциальных уравнений 1-го порядка

[2], гл.I, § 6.1-6.2;

[5], гл. IV, № 778-782; [6], гл.14, № 208-213


Примечание. Ссылки на литературу в таблице даны в соответствии с номерами в списке рекомендуемой литературы.

Справочный материал по теме «Интегральное

исчисление функции одной переменной»


  1. Первообразная и неопределенный интеграл. Таблица интегралов


Функция F(x) называется первообразной для функции f(x) на интервале (a, b), если для всех x из этого интервала выполняется равенство

. (1)

^ Неопределенным интегралом от функции f(x) называется множество всех первообразных этой функции, то есть неопределенный интеграл – это выражение вида , где .

Процедуру нахождения неопределенного интеграла называют интегрированием. При интегрировании используют: таблицу интегралов (таблица 2), свойства интегралов и специальные методы интегрирования, основные из которых – замена переменной и интегрирование по частям.

Таблица 2.


1.;

2.;

3. ;

4. ;

5. ;

6. ;

7. ;

8. ;

9. ;

10. ;

11. ;

12. ;

13. ;

14. ;

15. ;

16. .




  1. Свойства неопределенного интеграла. Замена переменной под знаком неопределенного интеграла


При интегрировании функций наиболее часто используются следующие его свойства:

1) ;

2) ;

3) .


Пример 1. Найти .

Решение. Воспользуемся свойствами 1-3, а также таблицей интегралов:

=+3 = .

Ответ: =.


Одним из основных методов интегрирования является метод замены переменной (метод подстановки), который в некоторых случаях позволяет свести заданный интеграл к табличному интегралу.

Замена переменной под знаком неопределенного интеграла осуществляется по формулам:



или

. (2)


Пример 2. Найти .

Решение. Воспользуемся формулой (2) и таблицей интегралов:

Ответ: .

Этот интеграл можно взять, используя подведение под знак дифференциала части подинтегральной функции (не прописывая замену переменной)

==.

Наиболее часто прием подведения под знак дифференциала используется при линейной замене переменной интегрирования:

, (3)

так как .


Пример 3. Найти .

Решение. Согласно формуле (3) можно записать:

.

Теперь воспользуемся свойством 2, а также таблицей интегралов:

Ответ: =.



  1. Интегрирование по частям


Формулой интегрирования по частям называют следующую формулу:

. (4)

Обычно за принимают такое выражение, интегрирование которого не вызывало бы трудностей, а за u – функцию, дифференцирование которой приводит к ее упрощению.


Можно выделить два основных класса интегралов, берущихся по частям:

1) ; ; ;

– здесь за u принимают целый многочлен , за – оставшееся выражение, то есть, например .

2) ; ;

– здесь за u принимают обратную функцию, например, arcsinbx, за – оставшееся выражение, то есть .


  1. Интегрирование рациональных дробей


Рациональной дробью называют отношение двух целых многочленов и , т.е. =. Для интегрирования рациональной дроби необходимо предварительно разложить ее, т.е. представить в виде суммы простейших дробей видов:



где k, r – целые положительные числа, а трехчлен не имеет действительных корней.

Если дробь неправильная (), то необходимо предварительно выделить целую часть дроби.


5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций


Для нахождения интегралов видов и используют тригонометрические формулы:

(5)


Для нахождения интегралов вида , где ^ R – рациональная функция (не содержащая sinх и cosx под знаком корней), используют универсальную подстановку: , которая сводит к интегралу от рациональной функции, т.к.

и (6)



  1. Формула Ньютона–Лейбница



Формула Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла имеет вид:

, (7)

если и непрерывна на .


Пример 4. Вычислить определенный интеграл.

Решение. Это определенный интеграл, берущийся по частям, поэтому, применяя формулу (4), а затем формулу НьютонаЛейбница, получаем:



=.

Ответ: =.





оставить комментарий
страница1/5
Дата16.09.2011
Размер0,56 Mb.
ТипМетодические рекомендации, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы:   1   2   3   4   5
плохо
  2
не очень плохо
  1
средне
  1
хорошо
  3
отлично
  6
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

Загрузка...
База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2017
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

наверх