Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. Всборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями; icon

Сборник задач по теории вероятностей направлен на развитие активизацию самостоятельной работы студентов. Всборнике представлены задачи по основным разделам теории вероятностей: пространство случайных событий и операции над событиями;


12 чел. помогло.
Смотрите также:
Календарный план по теории вероятностей и математической статистике 2 курс 4 факультет 2007/2008...
Лекция Некоторые исторические сведения о возникновении и развитии теории вероятностей...
А. Н. Бородин «Элементарный курс теории вероятностей и математической статистики»...
Урок №1 тема: история развития теории вероятностей. Предмет теории вероятностей...
Программа наименование дисциплины Теория Вероятностей и Математическая Статистика Рекомендуется...
Лекции, час
Лекция Аксиоматика теории вероятностей...
О злободневном значении теории вероятностей...
Задачи всероссийских студенческих олимпиад по теории вероятностей и математической статистике:...
1 лекция. Предмет теории вероятностей. Пространство элементарных исходов. Алгебра событий...
Самостоятельная работа 2 часа в неделю всего часов 64...
Вопросы для подготовки к экзамену...



страницы: 1   2   3   4   5   6
вернуться в начало
Глава 3. Вероятность события


Бросаем игральную кость. Выпасть могут или одно, или два, или три, или четыре, или пять, или шесть очков. Каждое из этих событий элементарное, и вместе они образуют множество элементар­ных событий. Рассмотрим теперь следующие события:

^ А — «выпадение 5 очков»,

В — «выпадение четного числа очков»,

С — «выпадение не меньше 3 очков».

Событие А — одно из шести равновозможных элементарных событий.

Событие В означает «выпадение или 2, или 4, или 6 очков», т. е. оно представляет три из шести равновозможных элементарных со­бытий.

Событие С означает «выпадение или 3, или 4, или 5, или 6 очков», т. е. оно представляет четыре из шести равновозможных элементар­ных событий.

У нас нет данных, чтобы, бросая кость, предугадать будущий результат, но кое-какие предположения высказать мы можем. Так, ясно, что событие A должно происходить реже, чем В (событию А благоприятствует меньше элементарных событий), а последнее должно происходить реже, чем событие С (событию В благоприят­ствует меньше элементарных событий). Как численно оценить воз­можности появления событий A, В и С?

Рассмотрим следующие элементарные события, которые при бросании игральной кости, как нам уже известно, образуют полную группу попарно несовместимых событий:

^ A1 — «выпадение 1 очка»,

A2 — «выпадение 2 очков»,

A3 — «выпадение 3 очков»,

A4 — «выпадение 4 очков»,

A5 — «выпадение 5 очков»,

A6 — «выпадение 6 очков».

Если имеет место элементарное событие ^ A 2, то имеет место и собы­тие В. Если имеет место элементарное событие A 4,то вновь происходит событие В. Если имеет место элементарное событие A 6, то опять имеет место В. Значит, элементарные события A2, A4 и A6 благоприят­ствуют событию В, аналогично элементарное событие A5 благопри­ятствует событию A, а элементарные события A3, A4, A5 и A6 — со­бытию С. Возможность появления того или иного события удобно оценивать отношением числа благоприятствующих элементарных событий к числу равновозможных элементарных событий, которые образуют полную группу попарно несовместимых событий. В дан­ном случае возможность появления события A оценивается числом , события В, события С. Эти числа называются вероятностями соответствующих событий и обозначаются:

.



Рис. 7.

Пусть т — число всех тех равновозможных элементарных собы­тий, которые благоприятствуют некоторому событию A; п — число элементарных событий, образующих полную группу равновозможных и попарно несовместимых событий. Отношение называем вероятностью события A и обозначаем:

. (2.16)

Вероятность Р (A) можно рассматривать как функцию события A, определенную на множестве элементарных событий Е. Из определения должно быть ясно, что Р (U) = 1, Р (V) = 0. Если событие В не является ни достоверным, ни невозможным, то

0 < Р (В) < 1.

Иногда мы сталкиваемся с событиями, для которых не можем определить числа т и п для вычисления вероятностей этих событий, и поэтому не удается непосредственно пользоваться формулой (2.16).

К числу таких событий относятся содержащие бесконечные подмножества множества элементарных событий. Рассмотрим, например, задачу на отыскание так называемой геометрической вероятности.

  1. Пусть на плоскости задан круг и в нем треугольник (рис. 7). В круг наудачу бросается точка. Как определить вероятность события A, состоящего в том, что точка попадает в треугольник?

Решение.

При решении этой задачи будем руководствоваться следующим исходным положением:

вероятность попасть в какую-либо часть круга пропорциональна площади этой части.

Если площадь круга составляет п единиц площади, а площадь треугольника m единиц площади, то в силу пропорциональности

.

Отношение конечно, в таких случаях совсем не обязано быть рациональным числом, а т и п — положительными целыми числами. Хотя формально результат и записывается так же, как формула (2.16), смысл он имеет несколько иной.

Ответ: .


Задачи


  1. В ящике имеются 4 белых и 7 черных шаров. Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар окажется белым?

Решение.

В этом случае т = 4, п = 11. Поэтому Р («наудачу вынутый шар белый») = .

Ответ: .

  1. Первенство по баскетболу оспаривают 18 лучших команд, которые путем жеребьевки распределяются на две группы, по 9 команд в каждой. 5 команд обычно занимают первые места. Ка­кова вероятность попадания всех лидирующих команд в одну груп­пу? Какова вероятность попадания двух лидирующих команд в одну группу и трех — в другую?

Решение.

Обозначаем события:

^ А — «все 5 лидирующих команд попали в одну группу»,

В — «2 лидирующие команды попали в одну группу, 3 — в другую».

Из 18 команд группы по 9 команд могут быть образованы способами. Таким образом, п = . Событию А благоприятствует столько событий, сколькими способами 5 лидирующих команд могут образовывать девятки с четырьмя командами из числа остальных 13 команд. Поэтому как первая, так и вторая девятка могут быть образованы способами. Следовательно,

т = .

.

Аналогичные рассуждения подсказывают нам, что число собы­тий, благоприятствующих событию В, равно

.

Поэтому

.

Наличие лидирующих команд в обеих группах более вероятно, чем их отсутствие в одной из групп. Любители баскетбола в этом убеждаются на практике: слабых групп нет!

Ответ: и .

  1. Таня и Ваня договорились встречать Новый год в компании из 10 человек. Они оба очень хотели сидеть за праздничным столом рядом. Какова вероятность исполнения их желания, если среди их друзей принято места распределять путем жребия?

Решение.

10 лиц могут усесться за стол 10! разными способами. Сколько же из этих п = 10! равновозможных способов благоприятны для Тани и Вани? Таня и Ваня, сидя рядом, могут занять 20 разных позиций. В то же время восьмерка их друзей может сесть за стол 8! разными способами, поэтому . Поэтому Р («исполнение желания Тани и Вани») = .

Не очень-то утешающий ответ.

Ответ: .

Формула (4.1) для вычисления вероятностей может быть применена только тогда, когда известно:

1) что результаты всех испытаний или наблюдений равновозможны;

2) что все равновозможные результаты (события) образуют полную группу попарно несовместимых событий.

Мы уже рассказывали о трудностях, с которыми столк­нулись последователи Лапласа. Как избежать подобных недоразумений при вычислении вероятности таких событий, равновозможность которых не удается установить на основании симметрии используемых моделей? Как действовать в таких случаях, когда не удается непосредственно убедиться в попарной несовместимости событий?

Пусть стрелок производит выстрел по мишени. Как оценить вероятность попадания? Если события «попадание» и «промах» равновозможны, то ответ получаем сразу:

Р («попадания») = .

Но они могут быть не равновозможны. Скажем, Алеша постоянно посещает тренировки по стрельбе и каждый раз из сотни выстрелов попадает в мишень 80—90 раз, а Сережа на стрельбище бывает редко, поэтому из сотни выстрелов попадает только 30—40 раз. Ясно, что у Алеши возможность попадания больше, чем у Сережи. Как оценить эти разные возможности? Из практики, так, как опре­деляется число появлений герба при подбрасывании монеты.


Произведено

выстрелов

10

20

30

40

50

60

70

80

90

Число попаданий Алеши

8

17

26

33

41

49

56

65

72

Число попаданий Сережи

3

5

8

12

15

19

22

25

28


Из таблицы видно, что как у Алеши, так и у Сережи отношение числа попаданий к числу произведенных выстрелов меняется. Эти отношения в какой-то мере зависят от числа произведенных выстрелов. Но вместе с тем заметно, что упомянутое отношение для каждого стрелка колеблется около определенного числа: у Алеши около , у Сережи около . Эти числа логично принять за оценку вероятности попадания — частоту. Эта оценка тем более надежна, чем больше проведено опытов с целью установления ее значения.

Пусть l — число испытаний, при проведении которых могло произойти или не произойти событие A, а k— число испытаний, при проведении которых событие А произошло. Отношение называем частотой события А и обозначаем:

. (2.17)

Индекс l специально ставим для того, чтобы подчеркнуть зависимость частоты от числа испытаний. Практика показывает, что в случаях, когда точно знаем вероятность Р(А) в классическом понимании, при достаточно большом числе испытаний l,

.

Это приближенное равенство получило теоретическое обоснова­ние, как увидим далее, в законе больших чисел, открытом Яковом Бернулли. Непосредственно из формул (2.16) и (2.17) следуют такие важные выводы:

1) Вероятность достоверного события равна 1, т. е.

.

2) Вероятность невозможного события равна нулю, т. е.

.

Замечание: если Р (А) = 0, то это не значит, что событие А невозможно, т. е. что утверждение, обратное 2-му, неверно.

3) Вероятность любого события А подчиняется неравенству

, ибо .


^ Задачи


  1. Как приближенно установить число рыб в озере?

Решение.

Пусть в озере х рыб. Забрасываем сеть и, допустим, находим в ней п рыб. Каждую из них метим и выпускаем обратно в царство Нептуна. Через несколько дней в такую же погоду и в том же месте забрасываем ту же самую сеть. Допустим, что находим в ней т рыб, среди которых k меченых. Пусть событие А — «пойманная рыба мечена». Тогда по формуле (2.17)

.

Но если в озере х рыб и мы в него выпустили п меченых, то согласно формуле (4.1)

.

Так как

, то .

Ответ: .

  1. Из 1000 произвольно выбранных деталей 4 бракуются. Сколь­ко бракованных окажется среди 2 400 деталей (приближенно)?

Решение.

Обозначим события:

^ А — «наугад выбранная деталь бракованная».

Тогда P {А} = 0,004.

Если среди 2400 деталей х бракованных, то . Так как , то , откуда .

Ответ: .

  1. Допустим, что 5 раз подбрасывалась монета и ка­ждый раз выпадал орел. Какова вероятность того, что при новом броске выпадет орел?

Решение.

Вероятность выпадения орла при одном бросании монеты равна . Вероятность выпадения орла в каждом из пяти бросаний моне­ты подряд равна , т. е. очень невелика. Поэтому, если мы проводим реальные эксперименты и 5 раз подряд выпадает орел, то можно усомниться в правильности монеты, в равновозможности исходов. Но в рамках теории вероятностей мы имеем дело с моделью. Если принято, что вероятность выпадения орла при одном бросании равна , то это значит, что исходы равновозможны, и |при каждом бросании монеты вероятность выпадения орла остается постоянной, равной , независимо от результатов предыдущих бросаний.

Ответ: .

  1. Таня забыла последнюю цифру номера телефона знакомой девочки и набрала ее наугад. Какова вероятность того, что Таня попала к своей знакомой?

Решение.

На последнем месте в номере телефона может стоять одна из 10 цифр 0, 1,2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; п= 10; все предыдущие цифры ника­кого значения не имеют.

Из п = 10 только одна цифра верная, поэтому т = 1.

Вероятность события А, состоящего в том, что, набрав последнюю цифру номера наугад, Таня попала к своей знакомой, равна

.

Ответ: .

  1. Витя забыл две последние цифры номера телефона приятеля и набрал их наугад. С какой вероятностью этот звонок попадет к приятелю?

Решение.

Исходом в данном случае является пара десятичных цифр (0...9) с учетом порядка и с повторениями; общее число возможных исходов ; все исходы считаем равновозможными.

Среди этих исходов только один является правильным, соот­ветствующим номеру телефона приятеля. Таким образом, событию А – «звонок попадет к приятелю» благоприятствует только один исход тА=1; вероятность

.

Ответ: 0,01.

  1. Для новогодней лотереи отпечатали 1500 билетов, из которых 120 выигрышных. Какова вероятность того, что куп­ленный билет окажется выигрышным?

Решение.

Если продажа билетов будет организована так, что покупка любого из 1500 билетов будет равновозможна, то можно приме­нить формулу классической вероятности.

Пусть событие ^ А - «купленный билет оказался выигрышным». Тогда количество благоприятствующих исходов т = 120, а общее число равновозможных исходов п = 1500; вероятность

или 8%.

Ответ: 0,08.

  1. Какова вероятность того, что при бросании иг­рального кубика выпадет: 1) 1 очко; 2) более 3 очков?

Решение.

Рассмотрим события:

А - выпало 1 очко;

В - выпало более 3 очков.

Для события А есть только один благоприятствующий исход А = 1), а для события В - три: 4, 5 или 6 очков, то есть тB = 3. По формуле классической вероятности

;

.

Ответ: 1) ; 2)

  1. Ученик записал в тетради произвольное двузнач­ное число. Какова вероятность того, что сумма цифр этого числа окажется равной 6?

Решение.

Существует 90 различных двузначных чисел. Если выбор лю­бого из них учеником равновозможен, то можно применить формулу классической вероятности.

Пусть событие ^ А - «сумма цифр случайно выбранного дву­значного числа равна 6».

Общее количество равновозможных исходов п = 90; количество исходов, благоприятствующих событию А, находим прямым пере­бором: 15, 24, 33, 42, 51, 60; т = 6.

Вероятность .

Ответ: .

  1. В мешке содержатся жетоны с номерами от 1 до 50 включительно. Какова вероятность того, что извлеченный наугад из мешка жетон содержит только одну цифру 3?

Решение.

Общее количество жетонов в мешке п = 50; извлечение каждого них считаем равновозможным.

Рассмотрим событие А «извлеченный жетон содержит только ну цифру 3». Количество благоприятствующих исходов находим непосредственным подсчетом вариантов: числа с одной цифрой 3 – это 3, 13, 23, 30-32, 34-39, 43, всего 13 чисел; тА = 13. Искомая вероятность

.

Ответ: .

  1. Для экзамена подготовили билеты с номерами от до 25. Какова вероятность того, что взятый наугад учеником билет имеет: 1) однозначный номер; 2) двузначный номер?

Решение.

Общее число билетов п = 25; извлечение каждого из них считаем равновозможным.

Рассмотрим события: А - «взятый билет имеет однозначный номер»; В - «взятый билет имеет двузначный номер». Количество благоприятствующих исходов: тА = 9 (одна цифра от 1 до 9);

тВ = 16 (первая цифра 1 или 2, вторая цифра – от 0 до 9 после единицы, от 0 до 5 после 2, всего 10 + 6 = 16). Искомые вероятности:

;

.

Ответ: 1) ; 2) .

  1. На одинаковых карточках написаны числа от 1 д0 10 (на каждой карточке - одно число). Карточки положили на стол, перевернули числами вниз и перемешали. Какова вероятность того, что на вынутой карточке окажется число: 1) 7; 2) четное; 3) кратное 3; 4) кратное 4; 5) делящееся на 5; 6) простое?

Решение.

Общее число равновозможных исходов п = 10.

Находим вероятности событий, непосредственно подсчитывая число благоприятствующих исходов:

1) А - «на карточке оказалось число 7»; т = 1; ;

2) В - «на карточке оказалось четное число»; т = 5; ;

3) С – «на карточке оказалось число, кратное 3»; т = 3 (числа 3, 6, 9); .

4) D - «на карточке оказалось число, кратное 4»; т = 2 (числа 4, 8); .

5) Е - «на карточке оказалось число, делящееся на 5»; т = 2 (числа 5, 10); .

6) F - «на карточке оказалось простое число»; т = 5 (числа 1, 2, 3, 5, 7); .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .

  1. Из колоды карт (36 листов) наугад вынимается одна карта. Какова вероятность того, что эта карта: 1) шестерка треф; 2) семерка; 3) король красной масти; 4) карта бубновой масти с числом; 5) карта черной масти с четным числом?

Решение.

Общее число равновозможных исходов п = 36. Находим веро­ятность событий:

1) ^ А - «вынутая карта - шестерка треф»; тА = 1; .

2) В - «вынутая карта - семерка»; тB = 4 (разные масти); .

3) С - «вынутая карта - король красной масти»; тC = 2; .

4) D«вынутая карта - бубновой масти с числом»; mD = 5 (это 6, 7, 8, 9 или 10); .

5) Е - «вынутая карта — червовой масти с четным числом»; mE = 3(это 6, 8 или 10); .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) .

  1. Андрей и Олег договорились, что если при броса­нии двух игральных кубиков в сумме выпадет число очков, кратное 5, то выигрывает Андрей, а если в сумме выпадет число очков, кратное 6, то выигрывает Олег. Справедлива ли эта игра и если нет, то у кого из мальчиков больше шансов выиграть?

Решение.

Общее число возможных исходов при бросании двух кубиков равно .

Сумма выпавших очков может принимать значения от 2 до 12, всего 11 значений. Среди них кратными 5 являются 5 и 10, а кратными 6 - значения 6 и 12. Подсчитаем количество исходов, при которых появляются эти суммы:

5 - при 1-4, 2-3, 3-2, 4-1, всего 4 исхода;

6 - при 1-5, 2-4, 3-3, 4-2, 5-1, всего 5 исходов;

10 - при 4-6, 5-5, 6-А, всего 3 исхода;

12 - при 6-6, всего 1 исход.

Андрей выигрывает при сумме 5 или 10; этому благоприятст­вуют

4 + 3 = 7 исходов из 36.

Олег выигрывает при сумме 6 или 12; этому благоприятствуют 5+1=6 исходов из 36.

Таким образом, игра несправедливая, так как Андрей имеет больше шансов выиграть, чем Олег.

Ответ: игра несправедливая; у Андрея шансов выиграть больше.

  1. Выяснить, является ли справедливым выбор пре­имущества между двумя игроками с помощью: 1) случайного выбора одного из двух шаров разного цвета; 2) выбора случайным образом одной карты красной или черной масти из полной колоды карт; 3) ставки на четное или нечетное число очков, выпавших на брошенной игральной кости; 4) ставки на костяшку-дубль или костяшку, не являющуюся дублем, извлеченную случайным образом полного набора домино.

Решение.

Выбор преимущества будет справедливым, если каждое из со­бытий, указанных в соответствующем опыте, будет иметь одинаковое количество благоприятствующих исходов (а, следовательно, и одинаковую вероятность появления).

1) Если в урне 2 шара разных цветов, то выбору шара каждого цвета благоприятствует один исход; т1 = т2, выбор справедлив.

2) В колоде 18 карт красной масти и 18 карт черной масти; выбору одной карты красного цвета благоприятствует m1 = 18 исходов из 36, а карты черного цвета т2 = 18 исходов; т1 = т2; выбор справедливый.

3) Выпадению четного числа очков благоприятствует 3 исхода (2, 4, 6), выбору нечетного числа - тоже 3 исхода (1, 3, 5); т1 = т2; выбор справедливый.

4) В полном наборе домино 28 костяшек, из них 7 дублей (0-0, 1-1, 2-2, 3-3, 4-4, 5-5, 6-6). Выбору дубля благоприятствуют m1 = 7 исходов, выбору не дубля - т2 = 28–7 = 21 исход. ; следовательно, выбор несправедливый.

Ответ: 1) справедливый; 2) справедливый; 3) справедливый; 4) несправедливый.

  1. Наугад называется натуральное число от 1 до 30. Какова вероятность того, что это число: 1) 6; 2) не 6; 3) кратно 6; 4) не кратно 6; 5) простое число; 6) квадратное число; 7) треуголь­ное число; 8) не меньше 27?

Решение.

Общее количество натуральных чисел от 1 до 30 равно п = 30; выбор каждого из них считаем равновозможным. Находим вероятности событий:

1) ^ А - «названо число 6»; тА = 1; .

2) В - «названо число не 6»; mB = п –­ тA = 29; .

3) С – «названо число, кратное 6»; тс = 5 (это числа 6, 12, 18, 24, 30); .

4) D - «названо число, не кратное 6»; mD = п – тC = 25; .

5) Е - «названо простое число»; тЕ = 11 (это числа 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29); .

6) F- «названо квадратное число»; mF = 5 (это числа 1, 4, 9, 16, 25); .

7) G - «названо треугольное число»; mG = 7 (это числа 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28); .

8) H - «названо число, не меньше 27»; тH = 4 (это числа 27, 28, 29, 30); .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ;4) ;5) 6) ;7) ; 8) .

Замечание. Напомним, что квадратные числа находятся по формуле ; а треугольные по формуле .

  1. В коробке находятся 3 черных, 4 красных и 5 си-карандашей. Наугад вынимается один карандаш. Найти вероятность того, что вынутый карандаш: 1) черный; 2) красный; 3) синий; 4) не черный; 5) не красный; 6) не синий; 7) зеленый; 8) или черный, или красный, или синий.

Решение.

В коробке всего n= 3+4 + 5 = 12 карандашей; извлечение любого из них считаем равновозможным. Находим вероятности событий:

1) ^ А - «вынутый карандаш черный»; тА = 3; .

2) В - «вынутый карандаш красный»; тВ = 4;. .

3) С - «вынутый карандаш синий»; тс = 5; .

4) D - «вынутый карандаш не черный»; mD = п - тА = 9; .

5) Е - «вынутый карандаш не красный; тЕ = п – тВ = 8; .

6) F - «вынутый карандаш не синий»; mF = n-mc = 7; .

7) G - «вынутый карандаш зеленый»; mG = 0; .

8) Н - «вынутый карандаш или черный, или красный, или синий»;

тH = тА + mB + тC = 12 (комбинаторное правило суммы); .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) ; 7) 0; 8) 1.

  1. Случайным образом выбрали двузначное число. Найдите вероятность того, что оно:

1) оканчивается нулем;

2) состоит из одинаковых цифр;

3) больше 27 и меньше 46;

4) не является квадратом целого числа.

Решение.

Общее число двузначных чисел равно ; выбор каждого из них считается равновозможным. Рассмотрим события:

1) ^ А - «выбранное число оканчивается нулем»;

2) В - «выбранное число состоит из одинаковых цифр»;

3) С – «выбранное число больше 27 и меньше 46»;

4) D - «выбранное число не является квадратом целого числа». Количество благоприятствующих исходов для каждого из этих событий найдем непосредственным подсчетом вариантов:

тА = 9 (числа 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90); .

тB = 9 (числа 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99); .

тC = 18 ( числа 28, 29, 30-39, 40, 41, 42, 43, 44, 45); .

mD = 84 (квадратами являются шесть чисел: 42 = 16, 52 = 25, 62 = 36,

72 = 49, 82 = 64, 92 = 81; не являются квадратами 90 – 6 = 84); .

Ответ: 1) ; 2) ; 3) ; 4) .

  1. Из костей домино случайно выбрали одну. Найдите вероятность того, что:

1) она не является дублем;

2) на ней не выпала «тройка»;

3) произведение очков на ней меньше 29;

4) модуль разности очков больше единицы.

Решение.

Общее количество костей домино п = 28; выбор каждой из них считаем равновозможным.

Находим вероятности событий:

1) ^ А - «выбранная кость не является дублем»; тА = 28 – 7 (количество дублей) = 21; .

2) В - «на выбранной кости не выпала тройка»; mB = 28 – 7 (количество костей с тройкой) = 21; .

3) С- «на выбранной кости произведение очков меньше 29». Подсчитаем количество костей, на которых произведение очков больше 29: это 5–6 и 6–6; следовательно, тс = 28-2= 26; .

4) D - «на выпавшей кости модуль разности очков больше единицы».

Подсчитаем количество костей, на которых разность очков равна 0 или 1: это 7 дублей и кости 0-1, 1-2, 2-3, 3-4, 4-5, 5-6, всего 7 + 6 = 13 костей; следовательно, mD = 28 – 13 = 15; .

Ответ: 1) ;2) ;3) ; 4) .

  1. Найдите вероятность того, что случайным образом выбранное двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5.

Решение.

Общее количество двузначных чисел ; выбор каждого числа считаем равновозможным.

Рассмотрим событие ^ А: «случайным образом выбранное двузначное число при делении на 13 дает в остатке 5».

Если число N при делении на 13 дает в остатке 5, то его можно представить в виде: . Необходимо пересчитать k, при которых N остается двузначным, это и будет количество исходов, благоприятствующих событию А: подходят k = 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, то есть mA = 7.

Искомая вероятность равна .

Ответ: .






оставить комментарий
страница3/6
Н.А.Гордиенко
Дата07.09.2011
Размер1,1 Mb.
ТипСборник задач, Образовательные материалы
Добавить документ в свой блог или на сайт

страницы: 1   2   3   4   5   6
плохо
  4
средне
  1
хорошо
  1
отлично
  22
Ваша оценка:
Разместите кнопку на своём сайте или блоге:
rudocs.exdat.com

База данных защищена авторским правом ©exdat 2000-2014
При копировании материала укажите ссылку
обратиться к администрации
Анализ
Справочники
Сценарии
Рефераты
Курсовые работы
Авторефераты
Программы
Методички
Документы
Понятия

опубликовать
Документы

Рейтинг@Mail.ru
наверх